.
9 класс (2005/2006 уч.год)
Все листки за 9-й класс в виде одного файла можно скачать отсюда
(gzip'ed postscript, 419 kB).
Файлы с отдельными листками идут ниже.
- Листок 1.
Геометрическое суммирование.
- Листок 2.
Суммирование разностей, арифметические прогрессии.
- Листок 3.
Геометрические прогрессии.
- Листок 4.
Разрезания и площади, равносоставленность, теорема Пифагора.
- Листок 5.
Площади и координаты, ориентированная площадь параллелограмма, расстояние между точками, формула Пика.
- Листок 6.
Делимость и взаимная простота, НОД, НОК, алгоритм Евклида.
- Листок 6 1/2 (необязательный).
Арифметика на клетчатой бумаге, задача о кузнечиках и цепные дроби.
- Листок 7.
Как организовать полный перебор. Индукция.
- Листок 8.
Множества и отображения (памятка начинающему пользователю).
- Листок 9.
Как сравнивать множества: перестановки букв в словах, раскрытие скобок, диаграммы Юнга, группы симметрий.
- Листок 9 1/2 (необязательный).
Знакомьтесь, граф ... (введение в графы)
- Листок 9 2/3 (необязательный).
Более трудные задачи про графы (эйлерова характеристика, k-дольные графы, кодовый замок и т.д.)
- Листок 9 3/4
(дополнительный, но обязательный).
Симметрии и перестановки: чётность перестановки, циклы, группы вращений правильных многогранников.
- Листок 10.
Мультиномиальные коэффициенты, суммирования в треугольнике Паскаля.
- Листок 10 1/2 (необязательный).
Две вариации на тему биномиальных коэффициентов: m-ичные системы исчисления и числа Бернулли.
- Листок 11.
Арифметика вычетов, признаки делимости и теорема Эйлера.
- Листок 12.
Простые числа и разложения целых чисел на множители.
- Листок 12 1/2
(дополнительный, но обязательный).
Радикальные преобразования (рутинные вычисления с корнями в канун экзамена по алгебре).
- Листок 13.
Бесконечные множества, канторов трюк, теорема Кантора-Бернштейна.
- Листок 13 1/2 (необязательный).
Три уровня порядка (частичный порядок, линейный порядок и вполне упорядоченность), трансфинитная техника.
- Листок 14.
Действительные числа как бесконечные десятичные дроби.
10 класс (2006/2007 уч.год)
Все готовые на сегодняшний день листки в виде одного файла можно скачать отсюда
(gzip'ed postscript, 212 kB).
Файлы с отдельными листками идут ниже.
- Листок 15.
Получение оценок: сравнение роста степеней и экспонент; оценки функций, последовательностей, рядов; число e.
- Листок 15 1/2 (для тех, кто понимает).
Вложенные отрезки. Леммы о покрытиях. Открытые множества. Дискретные множества. Предельные точки.
- Листок 15 2/3 (необязательный).
Замкнутые множества и компакты. Канторово множество. Замкнутое множество на прямой либо конечно, либо счётно, либо континуально.
- Листок 16.
Пределы и предельные точки последовательностей.
- Листок 17.
Вычисление пределов последовательностей. Теоремы Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши.
- Листок 18.
Графики и кривые (на плоскости).
- Листок 19.
Предел функции. Вычисление пределов. Асимптоты.
- Листок 20.
Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций на отрезке.
- Листок 20 1/2.
Геометрические эффекты и топологические патологии, связанные
с непрерывностью: волосойда, канторова лесенка, кривая Пеано и т.п.
- Листок 21.
Длина дуги, площадь сектора, тригонометрические функции, предел
x/sin x.
- Листок 22.
Комплексные числа и их приложения к тригонометрии и вычислению сумм.
- Листок 22 1/2 (необязательный).
Корни многочленов, формулы Виета, дискриминант, решение кубических уравнений,
алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел
- Листок 23.
Производная, дифференциал и геометрические касательные к графикам функций. "Правила дифференцирования".
Свойства дифференцируемых функций: теормы Ферма, Ролля, Лагранжа, Дарбу и т.п.
- Листок 24.
Применение производных к исследованию функций: отыскание промежутков монотонности,
стационарные точки и локальные экстремумы, направления выпуклостей и перегибы.
Неравенство Иенсена.
- Листок 24 1/2 (необязательный).
Более глубокие приложения: отыскание числа вещественных корней многочлена;
правило Лопиталя, формула Тэйлора-Лагранжа и их приложение к вычислению
приделов. Примеры "странностей": волосойды, канторова лесенка и лейбницева пила.
11 класс (2007/2008 уч.год)
Все готовые на сегодняшний день листки в виде одного файла можно скачать отсюда
(gzip'ed postscript, 88 kB).
Файлы с отдельными листками идут ниже.
- Листок 25.
Техника дифференцирования: теорема об обратной функции, производные тригонометрических
и обратных тригонометрических функций, рутинные упражнения на дифференцирование сложных функций, а также задачи на экстремумы и скорости.
- Листок 25 1/2 (необязательный).
Формальные степенные ряды и алгебраические операции над ними: сложение,
умножение, деление, дифференцирование, интегрирование, замена переменной,
логарифмирование и логарифмическая производная.
- Листок 26.
Условная и абсолютная сходимость рядов, признаки сходимости (Коши, Даламбер, Абель, Дирихле ...), радиус сходимости степенного ряда.
- Листок 26 1/2 (необязательный).
Исчисление формальных степенных рядов: экспонента, логарифм, логарифмическая производная, бином с произвольным показателем; экспоненцирование и логарифмирование задают взаимно обратные изоморфизмы между аддитивной группой рядов с нулевым свободным членом и мультипликативной группой рядов с единичным свободным членом. Метод производящих функций: числа Каталана; решение линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами.
- Листок 26 2/3 (необязательный).
Действие Q[[d/dt]] на Q[t]: формула Тейлора, разностные операторы, многочлены Аппелля.
Обращение разностного оператора, ряд Тодда, числа и многочлены Бернулли, суммирование степеней. Целозначные многочлены.
- Листок 27.
Экспоненциальная и логарифмическая функция вещественного и комплексного числа: алгебраические свойства, непрерывность и дифференцируемость (подход, основанный на использовании степенных рядов).
- Листок 28.
Степенные, показательные и логарифмические функции вещественного переменного с произвольными основаниями: алгебраические свойства, производные, графики и т.п.
- Листок 29.
Последовательности функций. Равномерная и поточечная сходимость.
- Листок 29 1/2 (необязательный).
Метрические пространства, полнота. Теорема о неподвижной точке сжимающего отображения.
Критерии компактности, характеризация компактных подмножеств n-мерного вещественного пространства.
- Листок 30.
Опредёлнный интеграл от функции по отрезку (по Дьедоне).
- Листок 31.
Первообразные и приёмы их вычисления.
- Листок 32.
Приёмы вычисления определённых интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем и формула Тейлора с интегральным остаточным членом. Несобственные интегралы.
- Листок 33.
Вычисления некоторых длин и площадей, гиперболические функции.
- Листок 34.
Решение некоторых дифференциальных уравнений (разделяющиеся переменные и линейные уравнения с постоянными коэффициентами).
- Листок 34 1/2 (необязательный).
Теорема существования решения обыкновенного дифференциального уравнения.
Ломаные Эйлера и критерий Асколи-Арцела.
- Листок 34 2/3 (необязательный).
Единственность решения обыкновенного дифференциального уравнения и его непрерывная зависимость от начального условия. Интегральные приближения Пикара.
- Листок 35.
Применение дифференциального исчисления в решении геометрических и физических задач
(объёмы и площади поверхностей тел вращения, экспоненциальная эволюция, формула Циолковского и т.п.).
(Обе попытки написания Итоговой Контрольной равноправны: если Вы пишите оба варианта, в зачёт идёт та работа, в которой достигнут максимальный балл.)
