Учебные материалы к моему курсу
"Линейная алгебра и геометрия",
читавшемуся в НМУ весной 2001 года.

Содержание:
записки лекций    задачи семинаров    зачёт и экзамен

Записки лекций

Ниже представлены записки моих лекций по линейной алгебре и геометрии, читанных во втором семестре студентам - математематикам Независимого Университета. Традиционно он включает линейную алгебру над полем (особое внимание уделяется комплексному и вещественному полю) с приложениями к аффинной и проективной геометрии.

Отсюда можно скачать подробную программу курса , развёрнутое содержание лекций и алфавитный указатель по запискам лекций

Лекция 1. Линейная зависимость, базисы, размерность. Подпространства и фактор пространства. Образующие и уравнения. Двойственность. Матричный и координатный формализм. Линейные операторы. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 2. Аффинизация и векторизация. Афинная геометрия, аффинные операторы и барицентрические координаты. Выпуклая геометрия вещественного пространства. Выпуклые многогранники и линейная оптимизация. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 3. Метрики, нормы и скалярные произведения. Ортогонализация и ортогональные разложения. Евклидова геометрия вещественных пространств: объёмы, углы и ортогональные проекции. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 4. Комплексификация и овеществление, комплексные и вещественные структуры на векторных пространствах. Комплексные собственные векторы вещественных операторов. Кватернионы. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 5. Эрмитовы пространства и эрмитова геометрия. Нормальные формы норамальных операторов. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 6. Теория представлений одного оператора (пространство с оператором как модуль над кольцом многочленов от одной переменной): минимальный многочлен, корневое разложение, разложение Жордана. Строение нильпотентных операторов. Вычисление алгебраических и формальных функций от оператора. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 7. Билинейные формы и корреляции. Невырожденные формы и изометрии. Симплектические базисы косой формы. Приведение симметричных форм: гиперболические и анизотропные формы, отражения, теорема Витта. Симметричные и косые формы на комплексных и вещественных пространствах, келеровы тройки. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 8. Проективные пространства, проективизация. Афинные, однородные и барицентрические координаты. Линейные проективные преобразования. Проективные квадрики. Поляритеты. Линейные системы квадрик. (GZIP'ed PostScript).

Задачи семинаров

Порядок сдачи зачета и экзамена

Студенты НМУ во втором семестре обычно должны сдать и зачет и экзамен по курсу алгебры. Их можно сдавать независимо друг от друга, однако официальная отметка об успешной сдаче курса "Алгебра - 2" появится в зачётке только после того, как будут сданы и зачет и экзаен. Для сдачи зачета надо получить от преподавателя индивидуальное задание, составленное из задач, предлагавшихся на упражнениях. Эти задачи следует письменно решить, а затем обсудить решения с преподавателем. Экзамен состоит в письменном решении пяти - шести задач, не входящих в число задач, предлагавшихся на упражнениях. Помимо записок лекций, для подготовки к экзамену можно использовать учебник Э.Б.Винберга "Основы алгебры".

Образец экзаменационной работы имеется здесь