|
Учебные материалы к моему курсу
«Введение в некоммутативную алгебра и теорию представлений»
прочитанному в 2006-2007 учебном году в НМУ
(обязательный курс алгебры, третий семестр)
Содержание:
записки лекций
задачи семинаров
зачёт и экзамен
|
Помимо выложенных ниже записок я рекомендую в качестве руководства при решении задач и для подготовки к экзамену книги:
Э.Б.Винберг. "Курс Алгебры.";
С.Ленг. "Алгебра.";
W.Fulton. "Young tableaux.";
W.Fulton, J.Harris. "Representation Theory. A first course."
С.И.Гельфанд, Ю.И.Манин "Методы гомологической алгебры, I".
Лекция 1.
Моноиды. Группы. Группы многогранников. Группы перестановок, цикловой тип перестановки. Нормальные подгруппы и строение гомоморфизмов. Действия, формула для длины орбиты, регулярное и присоединённое действия на себе. Циклические группы. Простота знакопеременных групп.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 3.
Пространства с операторами. Модули над ассоциативными алгебрами. Лемма Шура.
Критерии полупростоты. Теорема плотности. Теорема Бернсайда.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 6.
Категории и функторы. Симплициальные множества. Представимые функторы,
лемма Ионеды. Задание объектов "универсальными свойствами".
Сопряжённые функторы. Индуцирование и коиндуцирование.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 7.
Пределы и предпучки. Пределы диаграмм. Прямые и послойные (ко)произведения,
(ко)уравниватели и т.п. Всякий предпучок является копределом представимых,
категория предпучков универсально козамкнута. Предпучки на топологических
пространствах: этальное пространство предпучка,
прямые и обратные образы.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 9.
Комбинаторика массивов, таблиц и диаграмм (по В.И.Данилову и Г.А.Кошевому). Исчисление массивов и таблиц, теорема о биекции. DU-множества и DU-орбиты, полиномы Шура. Тождества Коши, Шура и т.п. следствия теоремы о биекции. Правило Литтлвуда-Ричардсона.
(GZIP'ed PostScript).
Задания делятся на "обязятельные", составляющие программу зачёта по алгебре, и "дополнительные", решение которых почётно, но никак не влияет на получение зачёта. К дополнительным задачам, по определению, относятся все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами.
- Задание 1:
конечные группы, симметрические и знакопеременные группы, группы многогранников;
- Задание 2:
дальнейшие примеры групп, действий и представлений (полупрямые произведения, инварианты конечных групп);
- Задание 3:
sl2-модули;
- Задание 4:
представления конечных групп: групповая алгебра и теория характеров;
- Задание 4 1/2 (необязательное):
"преобразование Фурье" на конечной группе;
- Задание 5:
кольцо представлений, ограничение и индуцирование, двойственность Фробениуса;
- Задание 6:
категории и функторы;
- Задание 6 1/2 (необязательное):
пределы и предпучки;
- Задание 7:
симметризаторы Юнга, конструкция Шура, модуль Шпехта;
- Задание 8:
комбинаторика массивов, таблиц и диаграмм;
- Задание 9:
кольцо представлений симметрических групп;
В третьем семестре студенты НМУ должны сдать по курсу алгебры зачет и экзамен. Их можно сдавать независимо друг от друга, однако официальная отметка об успешной сдаче курса "Алгебра - 3" появится в зачётке только после того, как будут сданы и зачет и экзаен. Для сдачи зачета необходимо заранее письменно решить около 70% не отмеченных звёздочкой задач в каждом листочке с целым номером из списка задач, предлагавшихся на упражнениях, а затем обсудить эти решения с преподавателем. Экзамен состоит в письменном решении задач, требующих свободного владения материалом всего курса, и проводится дважды: в конце семестра и в начале следующего семестра. Обе попытки равноправны, и студенты могут воспользоваться любой из них (использовавшим обе попытки в качестве окончательной отметки ставится максимальная из двух полученных).
Задачи (домашнего) экзамена 12--19 декабря 2006 года.
Задачи (домашнего) экзамена 16--23 февраля 2007 года.