Учебные материалы к моему курсу
Некоммутативная Алгебра и Представления
(Алгебра - 3)

Содержание:
записки лекций
задачи семинаров
зачёт и экзамен

Записки лекций

На этой странице публикуются (по мере готовности) учебные материалы обязательному курсу алгебры за третий семестр, который я читаю в НМУ осенью 2006 года. Помимо настоящих записок мы рекомендуем в качестве руководства при решении задач и для подготовки к экзамену книги:
Э.Б.Винберг. "Курс Алгебры.";
С.Ленг. "Алгебра.";
W.Fulton. "Young tableaux.";
W.Fulton, J.Harris. "Representation Theory. A first course."
С.И.Гельфанд, Ю.И.Манин "Методы гомологической алгебры, I".

Лекция 1. Моноиды. Группы. Группы многогранников. Группы перестановок, цикловой тип перестановки. Нормальные подгруппы и строение гомоморфизмов. Действия, формула для длины орбиты, регулярное и присоединённое действия на себе. Циклические группы. Простота знакопеременных групп. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 3. Пространства с операторами. Модули над ассоциативными алгебрами. Лемма Шура. Критерии полупростоты. Теорема плотности. Теорема Бернсайда. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 6. Категории и функторы. Симплициальные множества. Представимые функторы, лемма Ионеды. Задание объектов "универсальными свойствами". Сопряжённые функторы. Индуцирование и коиндуцирование. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 7. Пределы и предпучки. Пределы диаграмм. Прямые и послойные (ко)произведения, (ко)уравниватели и т.п. Всякий предпучок является копределом представимых, категория предпучков универсально козамкнута. Предпучки на топологических пространствах: этальное пространство предпучка, прямые и обратные образы. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 9. Комбинаторика массивов, таблиц и диаграмм (по В.И.Данилову и Г.А.Кошевому). Исчисление массивов и таблиц, теорема о биекции. DU-множества и DU-орбиты, полиномы Шура. Тождества Коши, Шура и т.п. следствия теоремы о биекции. Правило Литтлвуда-Ричардсона. (GZIP'ed PostScript).

Задачи семинаров

Задания делятся на "обязятельные", составляющие программу зачёта по алгебре, и "дополнительные", решение которых почётно, но никак не влияет на получение зачёта. К дополнительным задачам, по определению, относятся все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами.

Порядок сдачи зачета и экзамена

В третьем семестре студенты НМУ должны сдать по курсу алгебры зачет и экзамен. Их можно сдавать независимо друг от друга, однако официальная отметка об успешной сдаче курса "Алгебра - 3" появится в зачётке только после того, как будут сданы и зачет и экзаен. Для сдачи зачета необходимо заранее письменно решить около 70% не отмеченных звёздочкой задач в каждом листочке с целым номером из списка задач, предлагавшихся на упражнениях, а затем обсудить эти решения с преподавателем. Экзамен состоит в письменном решении задач, требующих свободного владения материалом всего курса, и проводится дважды: в конце семестра и в начале следующего семестра. Обе попытки равноправны, и студенты могут воспользоваться любой из них (использовавшим обе попытки в качестве окончательной отметки ставится максимальная из двух полученных).

Задачи (домашнего) экзамена 12--19 декабря 2006 года.
Задачи (домашнего) экзамена 16--23 февраля 2007 года.