На этой странице публикуются (по мере готовности) учебные материалы к обязательному курсу алгебры за четвёртый семестр, который я читаю в НМУ весной 2008 года. Помимо настоящих записок мы рекомендуем в качестве руководства при решении задач и для подготовки к экзамену книги:
Э.Б.Винберг. "Курс Алгебры.";
М.Атья, И.Макдональд "Введение в коммутативную алгебру.";
С.И.Гельфанд, Ю.И.Манин "Методы гомологической алгебры, I".
Лекция 1.
Целые расширения колец. Лемма Гаусса. Конечнопорождённая алгебра над полем является полем только когда все её элементы алгебраичны. Нётеровость конечно порождённых алгебр над полем. Теорема Гильберта о нулях.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 2.
Максимальные спектры и гомоморфизмы поднятий и вычислений, антиэквивалентность категории
аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем K и категории
конечно порождённых приведённых K-алгебр. Произведение многообразий. Топология Зарисского. Разложение на неприводимые компоненты. Геометрические свойства гомоморфизмов алгебр.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 3.
Общие алгебраические многообразия и их регулярные и рациональные отображения. Проективные пространства, проективные гиперповерхности и проективные многообразия. Системы результантов. Отделимость. Собственность проективных многообразий. Раздутие.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 4.
Конечность неассимптотической проекции. Размерность. Теоремы о размерностях слоёв регулярных морфизмов. Прямые на поверхностях в трёхмерном пространстве. 27 прямых на гладкой кубической поверхности.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 5.
Категории, функторы, предпучки. Естественные преобразования и эквивалентности категорий. (Ко)Представимые функторы, лемма Ионеды и задание объектов универсальными свойствами. Сопряжённые функторы. Триангулированные пространства и симплициальные комплексы.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 6.
(Ко)Пределы диаграмм и (ко)замкнутые категории, всякий предпучок является копределом представимых. Предпучки и пучки на топологическом пространстве: ростки и слои, этальное пространство предпучка, прямые и обратные образы предпучков, опучковывание.
(GZIP'ed PostScript).
Задания делятся на "обязятельные", составляющие программу зачёта по алгебре, и "дополнительные", решение которых почётно, но никак не влияет на получение зачёта. К дополнительным задачам, по определению, относятся все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами.
- Задание 1:
свойства целых элементов и целых расширений, лемма Гаусса, нётеровость и идеалы;
- Задание 2:
аффинные алгебраические многообразия, их координатные алгебры и идеалы;
- Задание 4 (настоятельно рекомендуется порешать его перед тем, как приступать к заданию 3): проективные пространства, проективные гиперповерхности, квадрики и коники;
- Задание 3 (необязательное):
проективные алгебраические многообразия, 27 прямых на кубической поверхности;
- Задание 5:
категории, функторы, пределы, сопряжённость;
- Задание 5 1/2 (необязательное):
(ко)замкнутые категории и продолжение по непрерывности;
- Задание 6:
диаграмный поиск, комплексы, когомологии, дифференциалы Кошуля и ДеРама;
- Задание 7:
точные пары и спектральные последовательности;
- Задание 8:
стандартные резольвенты и классические производные функторы;
Для зачтения курса Алгебра - 4 необходимо и достаточно сдать зачет и экзамен. Их можно сдавать независимо друг от друга, однако официальная отметка об успешной сдаче курса "Алгебра - 4" появится в зачётке только после того, как будут сданы и зачет и экзаен. Для сдачи зачета необходимо заранее письменно решить около 70% не отмеченных звёздочкой задач в каждом листочке с целым номером из списка задач, предлагавшихся на упражнениях, а затем обсудить эти решения с преподавателем. Экзамен состоит в письменном решении задач, требующих свободного владения материалом всего курса, и проводится дважды: в конце семестра и в начале следующего семестра. Обе попытки равноправны, и студенты могут воспользоваться любой из них (использовавшим обе попытки в качестве окончательной отметки ставится максимальная из двух полученных).
Задачи письменного экзамена 25 мая 2008 года.
.jpg)