на мою стартовую страницу
на стартовую страницу лаборатории

 

 

  Учебные материалы к семестровому спецкурсу
Гомологическая алгебра и производные категории
(факультет математики НИУ ВШЭ, весна 2015 г)

Содержание:
программа курса (PDF, 40 Kb)
записки лекций
задачи семинаров
зачёт и экзамен

Записки лекций

Помимо записок лекций, которые мало-помалу будут пояляться ниже, я рекомендую учебники:
  1. Ch.A.Weibel. An introduction to homological algebra. CUP. 1994.
  2. С.И.Гельфанд, Ю.И.Манин Методы гомологической алгебры, том I. М., «Наука» (есть в колхозе)
  3. В.И.Данилов. Когомологии алгебраических многообразий (в книге «Алгебраическая геометрия–2» из серии ВИНИТИ «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления», т.35, 1989; есть в колхозе)
  4. B.Keller. An introduction to abelian and derived categories. Preprint, 1997 (есть на сайте автора).
Идущие далее записки разбиты на части, не вполне соответствующие фактически прочитанным лекциям, но весьма близки к ним. Все имеющиеся на текущий момент лекции одним файлом (PDF, 636 Kb, обновлено 09.05.2015).

Лекция 1. Категории, функторы, предпучки. Естественные преобразования функторов, эквивалентности категорий. Копредставимые функторы и представимые предпучки, леммы Ионеды, задание объектов универсальными свойствами. Сопряжённые функторы. Пределы диаграмм, функториальные свойства пределов, замкнутые категории. PDF, 259 Kb [обновлено 08.05.2015].

Лекция 2. Линейные категории, прямые суммы, компактные объекты. Ядра и коядра, абелевы категории, точные последовательности и точные функторы. Проективные и инъективные объекты. Генераторы и когенераторы. Характеризация категорий модулей, эквивалентность Мориты. Предпучки и пучки: продолжение функтора по непрерывности, этальное пространство, прямой и обратный образ, опучковывание. Топологии Гротендика, каноническая топология на абелевой категории. PDF, 266 Kb [обновлено 08.05.2015].

Лекция 3. Исчисление градуированных модулей, кошулево правило знаков, DG-категория комплексов. Категория комплексов, длинная точная последовательность когомологий. Гомотопическая категория комплексов, конус морфизма, отмеченные треугольники. Комплексы Кошуля, регулярные последовательности, квадратичные алгебры. Спектральные последовательности фильтрованных комплексов, бикомплексов и точных пар. PDF, 226 Kb [обновлено 09.05.2015].

Задачи семинаров

Задачи можно решать в любом порядке в течение всего семестра, вплоть до начала экзамена. Задачи делятся на «обязятельные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не является необходимым для получения максимальной итоговой оценки. Обязательны все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все остальные задачи — дополнительные. Решения задач рекомендуется записывать. Сдавать решённые задачи можно только специально авторизованным для этого преподавателям письменно или устно. Результат такой сдачи фиксируется в имеющийся на обороте каждого листка персональный табель, где преподаватель указывает дату сдачи задачи и пишет своё имя. Не теряйте табели — их содержимое существенно влияет на итоговую отметку, и они являются единственными источником информации о том, сколько задач Вы сдали.

Порядок сдачи зачета и экзамена

Этот спецкурс спарен со спецсеминаром «Вычисления в гомологической алгебре», который специально задуман для ответов на вопросы, сдачи задач и дополнительных лекций. Итоговая 10-бальная оценка за спецкурс и итоговый зачёт за семинар ставятся в конце 4-го модуля (в конце третьего модуля никаких оценок и/или зачётов не выставляется). Обе отметки равны друг другу и складываются из результатов итогового письменного экзамена и общего числа решённых в течение семестра обязательных задач из листков. Если решено E% экзаменационного задания и L% от общего числа обязательных задач, выданных в течение 3-го и 4-го модулей, отметки 10 ставятся при L+E=150 или L+E>150 и линейно уменьшаются до нуля при наборе меньшей суммы, т.е. каждая из двух отметок равна min(150,L+E)/15. Обратите внимание, что решение необязательных задач теоретически позволяет сделать как E, так и L большими 100. Во избежание появления одновременно двух хвостов при получении отметки <4 по написанной выше формуле 4 балла только за спецсеминар ставится при L=30 или больше, а 4 балла только за спецкурс ставятся при E=30 или больше.

Экзамен для студентов 3-го и 4-го курсов бакалавриата, охватывающий примерно 3/4 от объёма всего курса и листки с 1 по 8 включительно, состоялся 13 мая в 1030 в ауд. 318. Задачи экзамена (PDF, 80 kB).

Экзамен для тех, кто сдаёт курс в полном объёме, состоялся 17 июня в 1100 в ауд. 211. Задачи экзамена (PDF, 66 kB).