Записки лекций ныне переработаны в более приспособленный (как мне кажется) для чтения учебник «Алгебра-1» (PS.GZ, 3.7 Mb, версия 2011 г), охватывающий материалы как первого, так и второго семестров и задачи, предлагавшиеся на лекциях и упражнениях. Кроме этого учебника я рекомендую в качестве руководства для решении задач и подготовки к экзамену книги И.Р.Шафаревича «Основные понятия алгебры» и Э.Б.Винберга «Курс Алгебры», а также учебные материалы к моим старым курсам.
Задания делятся на "обязятельные", составляющие программу зачёта по алгебре, и "дополнительные",
решение которых почётно, но никак не влияет на получение зачёта (и стипендии :-)). К дополнительным
задачам, по определению, относятся все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами.
- Задание 1:
элементы комбинаторики
- Задание 2:
примеры вычислений в коммутативных кольцах
- Задание 2 1/2:
квадратичная взаимность (по Эйзенштейну)
- Задание 3:
гомоморфизмы, идеалы, неприводимость и простота
- Задание 3 1/2:
обращение Мёбиуса (арифметика, первообразные корни, круговые многочлены, конечные поля, ЧУМы)
- Задание 4:
примеры векторных пространств и базисов
- Задание 5:
грассмановы многочлены и определители
- Задание 6:
матричная алгебра
- Задание 6 1/2:
расширения колец, целые элементы, нормальные кольца, лемма Гаусса
- Задание 7:
векторные подпространства и линейные операторы
- Задание 7 1/2:
расширения полей, сепарабельность, расширения Галуа
- Задание 8:
Z-модули, решётки, взимные базисы
- Задание 9:
формальные степенные ряды, действие k[[d/dt]] на k[t], числа Бернулли
- Задание 10:
симметрические многочлены и детерминантные тождества
В первом семестре студенты ВКМ НМУ должны сдать по курсу алгебры зачет и экзамен. Их можно сдавать независимо друг от друга, однако официальная отметка об успешной сдаче курса "Алгебра - 1" появится в зачётке только после того, как будут сданы и зачет и экзаен. Для сдачи зачета необходимо заранее письменно решить не менее 70% не отмеченных звёздочкой задач в каждом листочке с целым номером из списка задач, предлагавшихся на упражнениях, а затем обсудить эти решения с преподавателем. Экзамен состоит в письменном решении задач, требующих свободного владения материалом всего курса, и проводится дважды: в конце семестра и в начале следующего семестра. Обе попытки равноправны, и студенты могут воспользоваться любой из них (использовавшим обе попытки в качестве окончательной отметки ставится максимальная из двух полученных).
Задачи экзамена 18 декабря 2005 года.
Задачи экзамена 23 февраля 2006 года.
Образцы более старых экзаменационных задач имеются среди учебных материалов 1996 года.
