Алексей Городенцев в лаборатории алгебраической геметрии при факультете математики высшей школы экономики    Содержание: Моя математика: текущие научные интересы и некоторые работы Математика студентам: учебные материалы к некоторым моим курсам Математика школьникам: листочки с задачами и проч. Мои фотографии см. на расфокусе, ArtHero и Picasa.

Математика

• Теория спиралей. Эта когомологическая техника для ортогонального разложения триангулированных категорий в терминах исключительных базаисов (а также для анализа комбинаторики этих базисов) была придумана мною в 1986/87 г.г. (см. Gorodentsev A.L., Rudakov A.N. Exceptional vector bundles on projective spaces. Duke Math. J. 54 (1987) p.115-130) для описания исключительных векторных расслоений на проективных пространствах и поверхностях Дель Пеццо. С нынешней точки зрения теория спиралей является зеркально симметричным партнёром теории Пикара - Лефшеца.
  Прозрачки моих сеульских (KIAS) лекций про спирали   (May - June 2001)
  The Helix theory    (совместно с С.А.Кулешовым; опубликовано в Moscow Math. Journal)
  Mukai lattices    (слайды моего доклада на конференции GEOQUANT-2013 27 августа 2013г в Вене)

• АЛАГ или Абелева Лагранжева Алгебраическая Геометрия (т.е. алгебраическая геометрия лагранжевых циклов в присутствии абелевой калибровочной группы). Эта теория была создана А.Н.Тюриным (см. math.AG/9902027 , math.AG/9909094 ) для алгебро-геометричекого описания процедуры геометричекого квантования, теории неабелевых тета-функций, связностей на расслоениях конформных блоков и т. п.
  Слайды моего доклада «ALAG» на Питерской конференции «Наука будущего» (18 сентября 2014)
  Прозрачки моих сеульских (KIAS) лекций по АЛАГ    (April - May 2001)
  Английская   и    русская   версии нашей (с А.Н.Тюриным) статьи "АЛАГ", объясняющей основные конструкции: модули бор-зоммерфельдовых и планковых циклов, полувеса, комплексные структуры на пространствах бор-зоммерфельдовых и планковых циклов...

• t-стабильность. Это понятие обобщает понятие стабильных орбит из геометрической теории инвариантов (где оно служит для построения компактных факторов по действию алгебраических групп) и доставляет единообразный подход для работы с функториальными фильтрациями на линейных триангулированных категориях: классические фильтрации Гардера–Нарсимхана и Гротендика на категории когерентных пучков, каноническая когомологическая фильтрация, ассоциированная с t-структурой, ортогональное разложения объекта категории по исключительному базису — всё это примеры t-стабильностей. С физической точки зрения данные стабильности формализуют случайный процесс рождения элементов категории из "стабильных" кусков, составляющих пространства модулей.
  "t-стабильности и t-структуры на триангулированных категориях" (совместно с С.А.Кулешовым и А.Н.Рудаковым): на английском и на русском.
  "On finest and modular t-stabilities" (совместно с С.А.Кулешовым, на английском).

• Сизигии проективных многоообразий. Описание минимальной свободной резольвенты однородной координатной алгебры проективного многообразия как модуля над кольцом многочленов, а также исследование дополнительных алгебраических структур, возникающих на этой резольвенте (ассоциативное умножение, двойственность, старшие произведения Масси и т.п.) являются классическими проблемами проективной геометрии и гомологической алгебры.
  "On syzygies of highest weight orbits" (совместно с А.Н.Рудаковым и А.С.Хорошкиным). Мы изучаем сизигии проективизированной орбиты старшего вектора неприводимого представления комплексной полупростой группы Ли и показываем, в частности, что эти сизигии изоморфны когомологиям некоторой градуированной супералгебры Ли. В качестве иллюстации мы вычисляем сизигии грассманианов Gr(2,N) при стандартном плюккеровом вложении.

Математика для студентов

• NEW! Алгебра, 1 курс, факультет математики ВШЭ, 2024/25. Основные понятия алгебры: поля, коммутативные кольца, группы, модули над коммутативными кольцами, классификация конечно порождённых модулей над областями главных идеалов, тензорные произведения модулей, тензорная, стимметрическая и внешняя алгебры векторного пространства, эрмитовы пространства, комплексные и вещественные структуры, кватернионы. Предыдущие версии этого курса: 2023/24, 2022/23.
• Алгебра, 2 курс, факультет математики ВШЭ, 2010/11. Элементы теории представлений, теории категорий, коммутативной алгебры и теории Галуа.
• Линейная алгебра и геометрия, МатФак ВШЭ, 1-й курс, 2021/22 уч.г. Предыдущие версии этого курса: 2020/21 уч.г., 2019/20 уч.г., весна 2018/19 (только 2-й семестр).
• Алгебра I, НМУ, 1 курс 2020/21 уч.г. Предыдущие версии этого курса: 2013/14 уч.г., осень 2005 (1-й семестр), весна 2006 (2-й семестр), весна 2001 года (линейная алгебра и геометрия), а также совсем старые матераиалы начала 90-х, и толстый учебник для первокурсников Алгебра-1 (версия от 05.2011, 4.5Mb PDF).
• Алгебра II, НМУ, 2021/22 уч. год. Тензоры, представления, категории и функторы, коммутативная алгебра и аффинная алгебраическая геометрия, теория Галуа. Предыдущие версии этого курса: 2014/15, осень 2006 (1й семестр), весна 2007 (2й семестр), отдельно стоящее «Введение в коммутативную и гомологическую алгебру» (весна 2008), не использующее прямых ссылок на другие мои учебные материалы и толстый учебник для второкурсников Алгебра-2 (версия от 06.2015 PDF 2.1Mb).
• Введение в теорию категорий и гомологическую алгебру, МатФак ВШЭ, осень 2019. Более ранняя версия этого курса находится здесь.
• Геометрия, НМУ, 1 курс, 2016/17 уч. год. Годовой курс для студентов-математиков. Полуторасеместровая версия этого курса, читавшаяся на факультете математики ВШЭ в 2011/12 уч. году доступна здесь.
• Геометрическое введение в алгебраическую геометрию, факультет математики ВШЭ, осень 2016. Вводный самодостаточный курс по алгебраической геометрии для студентов 2-3 курса бакалавриата и 1 курса магистратуры факультета математики ВШЭ. Пререквизиты: 1-2 года алгебры и 1 год геометрии и основ топологии. Cокращённый вариант этого курса — шесть лекций на матмехе УрГУ (Екатеринбург, 8–13 октября 2012 г.) имеется тут. Задачи из расширенной годовой версии этого курса, что была прочитана на факльтете математики НИУ ВШЭ в 2013/14 уч. году, см. тут.
• Пучки и сопутствующая гомологическая алгебра, факультет математики ВШЭ, весна 2018 г. Введение в теорию пучков и для студентов 2-3 курса бакалавриата и 1 курса магистратуры. Пререквизиты: первые 3 семестра стандартных начальных курсов алгебры, логики, анализа, геометрии и топологии, читаемых на факультете математики ВШЭ или НМУ. Имеются также предыдущие версии этого курса, читавшиеся осенью 2015 г. и весной 2017 г.
• Теория представлений, каф. дискретной математики МФТИ, весна 2023. Вводный семестровый курс теории представлений. полилинейная алгебра, свойства полупростых модулей над ассоциативными алгебрами, представления конечных групп, представления симметрических групп и симметрические функции.
• São Carlos winter classes on Geometry (July 2013, in English). Интенсивный курс геометрии и сопутствующей (поли)линейной алгебры, прочитанный в Сан-Карлосском подразделении университета Сан-Паоло (Бразилия).
• Квантовые системы и геометрия: туда и обратно. Полукурс-полусеминар, который мы вели в НМУ вместе с Андреем Лосевым в расчёте на студентов, намеревающихся овладеть сразу двумя языками — физическим и математическим.
• Math in Moscow: Algebraic Geometry. A Start Up Course (Fall 2017, in English). The old good stable version (unchanged after Fall 2009) is available from here.
• Math in Moscow: Introduction to commutative and homological algebra (in English). Some lecture notes, exercises, programs, and examples of written exams.
• Упражнения по дискретной математике 1, факультет математики ВШЭ, осень 2018, 1 курс. Материалы упражнений в группе А1.

Школьная математика

• Числа и суммы: учебник для младших школьников, написанный, главным образом, И.Артамкиным, С.Хорошкиным и А.Кулаковым (с некоторым участием А.Хохлова, С.Прохорова и меня); кажется, он даже был где-то издан, но многие часто спрашивают о нём...
• Алгебра и геометрия 8–9: несколько (достаточно случайных) выдержек из четырёхлетнего курса математики, который мне вместе с Таней, А.Хохловым и В.Долотиным один раз полностью и несколько раз частично удалось провести в 109-й и 1018-й школах в конце 1980-х — начале 1990-х годов.
• Анализ 9-11: трёхлетний курс анализа, рассчитанный на достаточно сильных школьников 9–11 классов, и полностью пройденнный в 1999-2002 г. в 57-й школе, затем частично повторённый со школьниками 179-й школы (на факультативных занятиях в ИТЭФ). Эти записи никогда не увидели бы свет без участия Р.Анно, С.Дориченко, О.Кряжевой, Д.Михалкина, Е.Смирнова, Н.Степанова и К.Трушкина.
• Анализ для физического класса 179 школы. Курс, который я вёл в ИТЭФ вместе с Н.Амбург и А.Рубиным в тесном сотрудничестве с С.Дориченко.