Помимо моих собственных записок, которые по мере готовности будут появляться ниже, я рекомендую следующие учебники:
- Э.Б.Винберг. Курс алгебры (есть в колхозе)
- А.Л.Городенцев. Алгебра–1 (PDF 3.5Mb, версия от 1.09.2023).
- А.Л.Городенцев. Алгебра–2 (PDF 2.8Mb, версия от 1.09.2023).
- И.Р.Шафаревич. Основные понятия алгебры. ВИНИТИ, Совр. Пробл. Математ. Фундам. Напр., Алгебра-1 (есть в колхозе)
Все имеющиеся на сегодняшний день конспекты лекций одним файлом:
PDF 2,1 Mb обновлён 27.05.2024.
Видеозаписи лекций на YouTube.
- Материал для справок:
Множества, отображения, слои отображений, эквивалентности и классы эквивалентности. Композиции отображений, группы преобразований. Частично упорядоченные множества, вполне упорядоченные множества, лемма Цорна.
PDF 151kb обновлён 1.09.2023.
- Тема 1. Поля, коммутативные кольца, абелевы группы. Кольцо целых чисел: делимость, НОД, НОК и взаимная простота, алгоритм Евклида–Гаусса. Кольца и поля вычетов: делители нуля, нильпотенты, обратимые вычеты, теорема Эйлера, малая теорема Ферма. Свойства гомоморфизмов, примеры: квадраты в поле Fp, простое подполе, характеристика, гомоморфизм Фробениуса. Прямые произведения абелевых групп и колец. Китайская теорема об остатках.
Конспект:
PDF 165kb обновлён 16.12.2023.
Видеозаписи:
лекция 05.09.2023,
лекция 07.09.2023,
лекция 14.09.2023.
- Тема 2. Ряды и многочлены: алгебраические операции и дифференциальное исчисление. Делимость и китайская теорема об остатках в кольце многочленов. Корни и кратные корни многочленов, интерполяция, сепарабельность. Кольца вычетов K[x]/(f) и расширения полей. Поле комплексных чисел. Конечные поля.
Конспект:
PDF 207kb обновлён 2.10.2023.
Видеозаписи:
лекция 21.09.2023,
лекция 28.09.2023,
лекция 05.10.2023.
- Тема 3. Кольца и поля частных, примеры: ряды Лорана, рациональные функции. Разложение рациональной функции на простейшие дроби и в степенной ряд, приложение: решение линейных рекуррентных уравнений. Экспонента, логарифм, бином, пример: числа Каталана. Действие Q[[d/dx]] на Q[x], суммирование степеней и числа Бернулли.
Конспект:
PDF 136kb обновлён 2.10.2023.
Видеозаписи:
лекция 12.10.2023,
лекция 19.10.2023,
лекция 2.11.2023.
- Тема 4. Идеалы и фактор кольца, примеры: простые и максимальные идеалы. Нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе идеала, примеры: системы полиномиальных уравнений и конечно порождённые коммутативные алгебры. Области главных идеалов, примеры: евклидовы кольца, гауссовы числа. Факториальные кольца, простые и неприводимые элементы, факториальность области главных идеалов. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом, содержание многочлена и лемма Гаусса. Разложение на множители многочленов с целыми коэффициентами. Конспект:
PDF 144 Kb обновлён 17.01.2024.
Видеозаписи:
лекция 3.11.2023,
лекция 9.11.2023,
лекция 16.11.2023.
- Тема 5. Модули над коммутативными кольцами: прямые суммы модулей и подмодулей, гомоморфизмы и модули гомоморфизмов, фактор модули, ранг свободного модуля, образующие и соотношения. Ассоциативные алгебры над коммутативными кольцами, алгебра эндоморфизмов модуля, алгебра матриц, обратимые элементы, пример: обращение унитреугольной матрицы и теорема об элементарных симметрических функциях. Матричный формализм: умножение матриц, матрицы переходов, матрицы гомоморфизмов, модуль гомоморфизмов между модулями, заданными образующими и соотношениями, пример: Hom(Z/(n),Z/(m)).
Конспект:
PDF 183 Kb обновлён 5.12.2023.
Видеозаписи:
лекция 17.11.2023, судя по всему, не записалась;
лекция 23.11.2023,
лекция 30.11.2023.
- Тема 6. Метод Гаусса в области главных идеалов: инвариантные множители и нормальная форма Смита прямоугольной матрицы, отыскание обратных матриц, решение систем линейных уравнений. Теорема о взаимном базисе и инвариантные множители подмодуля в свободном модуле конечного ранга. Теорема об элементарных делителях, классификация конечно порождённых модулей над областью главных идеалов. Конспект:
PDF 141 Kb обновлён 16.12.2023.
Видеозаписи:
лекция 1.12.2023,
лекция 7.12.2023.
- Тема 7.
Классификация конечно порождённых абелевых групп, разложимость, простота и полупростота, циклические группы. Подрешётки в Zm: соизмеримость, отщепимость прямым слагаемым, порядок элемента в факторе. Общие свойства полупростых модулей над ассоциативным кольцом.
Конспект:
PDF 94 Kb обновлён 16.12.2023.
Видеозаписи:
лекция 14.12.2022,
последняя лекция первого семестра 15.12.2023, судя по всему, не записалась.
- Тема 8.
Определитель квадратной матрицы, знак и длина перестановки, знак тасующей перестановки. Алгебра грассмановых многочленов и внешняя алгебра свободного модуля. Линейная замена переменных в грассмановом многочлене, миноры, внешняя степень матрицы, мультипликативность внешних степеней, приложения: выражение инвариантных множителей матрицы через её миноры, число элементов в факторе решётки по подрешётке равно объёму фундаментального параллелепипеда. Соотношения Лапласа (разложение определителя по набору строк/столбцов), присоединённая матрица, приложения: формула для обратной матрицы, правила Крамера, тождество Гамильтона–Кэли, результант и исключение переменных.
Конспект:
PDF 155 Kb обновлён 22.01.2024.
Видеозаписи:
лекция 11.01.2024,
лекция 12.01.2024,
лекция 18.01.2024.
- Тема 9.
Классификация конечномерных линейных операторов над произвольным полем, неприводимые и неразложимые операторы, жорданова и фробениусова нормальные формы, инвариантные множители и элементарные делители, характеристический и минимальный многочлены. Нильпотентные и полупростые операторы. Циклические векторы. Собственные подпространства и собственные векторы, диагонализуемые операторы. Корневое разложение и вычисление аналитических функций от оператора. Коммутирующие операторы, разложение Жордана.
Конспект:
PDF 202 Kb обновлён 31.01.2024.
Видеозаписи:
лекция 25.01.2024,
лекция 26.01.2024,
лекция 1.02.2024,
лекция 8.02.2024,
лекция 9.02.2024.
- Тема 10.
Группы, подгруппы, циклические группы и порядки элементов. Цикловой тип перестановки и классы сопряжённости в симметрической группе. Группы фигур. Свойства и примеры гомоморфизмов групп. Действие группы на множестве, длина орбиты и число орбит. Регулярные и присоединённое действия группы на себе. Смежные классы и индексы подгрупп. Классы сопряжённости и внутренние автоморфизмы. Нормальные подгруппы и фактор группы. Коммутант, примеры: коммутанты симметрических и линейных групп.
Конспект:
PDF 268 Kb обновлён 18.02.2024.
Видеозаписи:
лекция 15.02.2024,
лекция 22.02.2024,
лекция 29.02.2024.
- Тема 11.
Простые группы, примеры: простота знакопеременных и специальных проективных линейных групп. Композиционные ряды, теорема Жордана–Гёльдера. Полупрямые произведения, примеры: группы диэдров, аффинная линейная группа, голоморф, сплетения. Свойства p-групп, теоремы Силова, пример: группы порядка pq.
Конспект:
PDF 129 Kb обновлён 23.03.2024.
Видеозаписи:
лекция 7.03.2024,
лекция 14.03.2024,
лекция 21.03.2024.
- Тема 12.
Универсальное свойство свободной группы. Задание группы образующими и определяющими соотношениями. Примеры: группа диэдра, группы платоновых тел, симметрическая группа. Порядок Брюа на симметрической группе.
Конспект:
PDF 405 Kb обновлён 5.04.2024.
Видеозаписи:
лекция 4.04.2024,
лекция 5.04.2024.
- Тема 13.
Тензорное произведение модулей над коммутативным кольцом. Полилинейные отображения модулей и универсальное свойство тензорного произведения. Примеры: тензорные произведения абелевых групп и векторных пространств, изоморфизм U*⊗W=Hom(U,W), многообразия Сегре. Канонические изоморфизмы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Тензорные произведения линейных отображений. Образующие и соотношения тензорного произведения модулей, заданных образующими и соотношениями. Тензорное произведение алгебр, пример: тензорное произведение расширений поля.
Конспект:
PDF 125 Kb обновлён 5.04.2024.
Видеозаписи:
лекция 11.04.2024,
лекция 18.04.2024,
лекция 19.04.2024.
- Тема 14.
Тензорные степени векторного пространства. Двойственность: полная и частичные свёртки, полилинейные формы как тензоры, линейный носитель тензора. Тензорная, симметрическая и внешняя алгебры векторного пространства, симметрические и внешние степени. Симметричные и знакопеременные тензоры, симметизация и альтернирование. Поляризация многочленов и грассмановых многочленов над полем характеристики нуль, частные производные. Примеры: принцип Аронгольда, формула Тейлора, (грассмановы) многочлены с минимальным ненулевым линейным носителем. Многообразия Грассмана и Веронезе. Разложение тензорного квадрата и тензорного куба.
Конспект:
PDF 230 Kb обновлён 24.04.2024.
Видеозаписи:
лекция 25.04.2024,
лекция 10.05.2024,
лекция 16.05.2024,
лекция 23.05.2024.
- Тема 15.
Овеществление комплексных векторных пространств, условия Коши–Римана. Комплексификация вещественных векторных векторных пространств, линейных операторов и билинейных форм, вещественный геометрический смысл комплексных собственных векторов. Эрмитово продолжение скалярного произведения на комплексификацию, эрмитовы пространства, кэлеровы тройки. Эрмитова геометрия: длина, унитарная группа, матрицы Грама, ортогонализация и эрмитов объём, неравенства Коши–Буняковского–Шварца и треугольника, угол между комплексными прямыми.
Конспект:
PDF 127 Kb обновлён 27.05.2024.
Видеозаписи:
лекция 24.05.2024,
лекция 30.05.2024,
лекция 6.06.2024.
- Тема 16.
Эрмитово сопряжение линейных отображений, эрмитовы, антиэрмитовы и унитарные операторы. Отступление: вещественные структуры на комплексном векторном пространстве. Ортогональная диагоализация нормальных операторов, нормальные операторы на евклидовом пространстве. Полярное разложение обратимых операторов. Экспонента сюрьективно отображает пространство антиэрмитовых операторов на унитарную группу.
Конспект:
PDF 115 Kb обновлён 27.05.2024.
Видеозаписи:
лекция 7.06.2024,
лекция 13.06.2024,
консультация перед экзаменом, что была 20.06.2024 в ауд.109, не записывалась.
Разбираемые на семинарах задачи идут ниже. Все студенты так или иначе должны научиться решать все не помеченные звёздочками задачи семинаров.
- Тема 1. Целые числа и вычеты (обновлено 13.08.2023).
- Тема 2. Многочлены и расширения полей.
- Тема 3. Ряды и дроби.
- Тема 4. Идеалы, фактор кольца и факториальные кольца (обновлено 4.12.2023).
- Тема 5. Модули и матрицы (обновлено 12.12.2023).
- Тема 6. Метод Гаусса.
- Тема 7. Конечно порождённые абелевы группы.
- Тема 8. Определители.
- Тема 9. Пространство с оператором.
- Тема 10. Группы преобразований (обновлено 29.02.2024).
- Тема 11. Абстрактные группы. Коммутант. Изоморфизмы.
- Тема 12. О строении групп.
- Тема 13. Тензорные произведения.
- Тема 14. Тензорная алгебра.
- Тема 15. Вещественное и комплексное.
делятся на «обязательные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не обязательно для получения максимальной итоговой оценки. Обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи — дополнительные. Задачи можно сдавать в течение всего семестра вплоть до официального начала предновогодней и летней экзаменационных сессий. Решения задач необходимо записывать. Сдавать задачи можно только преподавателю, который ведёт семинары по алгебре в Вашей группе, и его специально авторизованным для приёма задач помощникам, контакты которых он Вам укажет. Порядок сдачи задач также устанавливается преподавателем, ведущим семинары в Вашей группе. Этот порядок должен обеспечить каждому студенту возможность сдать примерно 3-5 задач в неделю. Важное предупреждение: если количество желающих сдавать задачи будет слишком большим, то сдать больше 3-5 задач в неделю может оказаться невозможно в виду физического отсутствия времени у принимающих задачи. Это нормально, и претензии по этому поводу не рассматриваются. Поэтому я рекомендую сдавать 3-5 задач каждую неделю.
В первом семестре учитываются листки с 1-го по 6-й включительно.
Во втором семестре учитываются листки начиная с 6-го включительно.
В первом семестре были 3 контрольные работы:
Во втором семестре планируются 3 контрольные работы:
в середине февраля, в начале апреля и в середине мая.
по материалам первых трёх модулей был во вторник 26 марта в 1000 для групп 231 и 232 — в ауд. 108, для групп 233 и 234 — в ауд. 110. Каждый билет содержит два теоретических вопроса, ответы на которые оцениваются из 30 баллов каждый, и одну задачу, решение которой оценивается из 40 баллов. Отвечать на вопросы можно в любом порядке. Время на подготовку каждого из ответов 10 минут. Через 10 минут после получения билета или после окончания ответа на очередной вопрос экзаменатор имеет право потребовать ответить на один из оставшихся вопросов (на выбор студента). Во время ответа экзаменатор имеет право попросить дать точное определение любого используемого понятия.
Программа теоретической части.
Примерные образцы возможных задач.
Видеозапись консультации 22.03.2024.
В первом семестре
на итоговую отметку влияют: оценка S за работу на семинарах, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле:
100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(300,S+L+K+E)/30
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно набрать по 75 баллов в каждом из четырёх видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 300 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
Итоговый письменный экзамен за первый семестр (программа экзамена) был в среду 27 декабря с 1100 до 1500, объявление итоговых оценок, показ проверенных экзаменационных работ и урегулирование претензий были в четверг 28 декабря с 1100 до 1200. Все дальнейшие претензии, а также просьбы о продлении сесии, вопросы по поводу организации переэкзаменовок и т.п. надлежит направлять в учебную часть.
Во втором семестре
на итоговую отметку влияют: оценка C за коллоквиум, оценка S за работу на семинаре, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач точно так же, как и в первом семестре. Во втором семестре вклад в величину L вносят листки начиная с 6-го включительно, а в величину K — контрольные начиная c 4-й включительно. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(400,С+S+L+K+E)/40
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно иметь по 80 баллов в каждом из пяти видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 400 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
Итоговый письменный экзамен за второй семестр был в понедельник 24 июня (программа экзамена).
Объявление окончательных итоговых оценок, показ проверенных экзаменационных работ и урегулирование претензий было во вторник 25 июня.
Все дальнейшие претензии, просьбы о продлении сесии, вопросы по поводу переэкзаменовок и т.п. надлежит направлять в учебную часть.