Для подготовки к экзаменам и при решении задач я рекомендую учебники:
- Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
- С.И.Гельфанд, Ю.И.Манин Методы гомологической алгебры, том I. М., «Наука» (есть в колхозе)
- А.Л.Городенцев. Алгебра для студентов-математиков. Часть II. (версия от 06.2015: PDF 2.1Mb)
- С.Ленг. Алгебра. М., «Мир» (есть в колхозе)
- У.Фултон. Таблицы Юнга и их применение в ... М., «МЦНМО» (есть в колхозе)
- W.Fulton, J.Harris. Representation Theory. A first course. (есть в колхозе)
- И.Р.Шафаревич. Основные понятия алгебры. ВИНИТИ, Совр. Пробл. Математ. Фундам. Напр., Алгебра-1 (есть в колхозе)
Содержание курса почти дословно соответсвует учебнику [3]. Ниже приведены более ранние версии его кусков, примерно соответсвующих фактически прочитанным лекциям (и содержащих больше опечаток).
Лекция 1.
Полилинейные отображения и тензорные произведения модулей над коммутативным кольцом.
Универсальное свойство и канонические изоморфизмы. Базис тензорного произведения векторных пространств,
изоморфизм U*⊗W=Hom(U,W), многообразия Сегре. Тензорные произведения абелевых групп.
Тензорные произведения линейных отображений. Образующие и соотношения тензорного произведения модулей,
заданных образующими и соотношениями.
PDF, 133 Kb [обновлено 01.10.2014].
Лекция 2.
Тензорная алгебра векторного пространства, свёртки, линейный носитель тензора.
Симметрическа и внешняя алгебры векторного пространства.
Симметрические и косососимметрические тензоры, симетризация и альтернирование.
Поляризация однородных многочленов и грассмановых многочленов над полем характеристики нуль, частные производные.
Описание многочленов и грассмановых многочленов с минимально возможными линейными носителями.
PDF, 182 Kb [обновлено 01.10.2014].
Лекция 3.
Симметрические и кососимметрические многочлены и ряды.
Мономиальные, элементарные и полные симметрические многочлены, многочлены Ньюьона и детерминантные многочлены Шура.
Выражение элементарных и полных многочленов через Ньютоновские и друг через друга.
Выражение детерминантных многочленов Шура через полные (формула Джамбелли).
Формула Пьери для умножения полинома Шура на полный симметрический многочлен.
Кольцо симметрических функций.
PDF, 131 Kb [обновлено 01.10.2014].
Лекция 4.
Исчисление массивов, таблиц и диаграмм. Элементарные операции над масивами и уплотнение массивов. Действие симметрической группы на массивах. Полиномы Шура DU-множеств и DU-орбит, числа Костки, правило Литтлвуда-Ричардсона и тождество Якоби-Труди. Соотношения между колическтвами таблиц и стандартных таблиц.
PDF, 271 Kb [обновлено 16.10.2014].
Лекция 5.
Знакомство с теорией представлений. Представление множества операторов: приводимость, разложимость, полупростота. Лемма Шура, изотипные подмодули. Полупростые модули над ассоциативными алгебрами: свойства, теорема о двойном централизаторе, теорема Бернсайда. Представления групп: представления конечных абелевых групп и двойственность Понтрягина, полная приводимость представлений конечной группы, теорема Машке для групповой алгебры конечной группы. V⊗n как Sn×GL(V)-модуль: тип симметрии тензора, соответствие Шура–Вейля.
PDF, 153 Kb [обновлено 21.04.2014].
Лекция 6.
sl2-модули. Алгебры Ли, универсальная обёртывающая алгебра, линейные представления алгебр Ли. Описание конечномерных неприводимых sl2-модулей. Оператор Казимира и полная приводимость конечномерных sl2-модулей.
PDF, 81 Kb [обновлено 17.12.2014].
Лекция 7.
Представления конечной группы. Скалярное произведение на групповой алгебре, формула Планшереля, проекторы на изотипные компоненты. Преобразование Фурье. Теория характеров, кольцо представлений. Индуцированные и коиндуцированные представления, взаимность Фробениуса.
PDF, 127 Kb [обновлено 10.12.2014].
Лекция 8.
Представления симметрических групп. Действие на заполненных диаграммах: симметризаторы Юнга и минимальные левые идеалы групповой алгебры. Действие на таблоидах, характер модуля таблоидов. Модуль Шпехта, табличный базис модуля Шпехта. Изометрический изоморфизм кольца представлений симметрических групп с кольцом симметрических функций, правило Литтлвуда–Ричардсона, правила ветвления и формула Фробениуса для характеров.
PDF, 140 Kb [обновлено 17.12.2014].
Лекция 9.
Категории, функторы, предпучки. Категория функторов и категория предпучков, эквивалентности категорий. Представимые функторы и представимые предпучки, лемма Ионеды, задание объектов универсальными свойствами. Сопряжённые функторы. Пределы диаграмм, функториальные свойства пределов, замкнутые категории.
PDF, 235 Kb [обновлено 06.02.2015].
Лекция 10.
Расширения комутативных колец, свойства целых элементов, лемма Гаусса. Примеры: целые алгебраические числа, целость характеров конечной группы, размерность комплексного неприводимого представления делит индекс центра группы. Конечно порождённые алгебры над полем, алгебраические и трансцендентные элементы, если конечно порождённая алгебра — поле, то она алгебраична. Базисы трансцендентности и трансцендентная размерность целостной алгебры. Нормальные кольца, минимальный над полем частных Q нормального кольца K многочлен любого целого элемента любой Q-алгебры имеет коэффициенты в кольце K.
PDF, 117 Kb [обновлено 03.03.2015].
Лекция 11.
Аффинная алгебраическая геометрия. Категория аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем K антиэквивалентна категории конечно порождённых приведённых K–алгебр. Максимальный спектр. Рациональные функции. Геометрические свойства гомоморфизмов K–алгебр: замкнутые вложения, доминантные и конечные морфизмы, нормальные многообразия.
PDF, 169 Kb [обновлено 03.03.2015].
Лекция 12.
Определение и примеры алгебраических многообразий, проективные пространства, грассманианы, замкнутые подмногообразия, аффинные и проективные многообразия. Структурный пучок, регулярные и рациональные отображения, график регулярного морфизма в отделимое многообразие замкнут. Системы результатнтов, регулярный морфизм из проективного многообразия в отделимое замкнут, а в аффинное — стягивает каждую связную компоненту в точку. Раздутие точки, конечность проекции проективного многообразия из не лежащей на нём точки на гиперплоскость, нётерова нормализация. Размерность, размерности подмногообразий, размерности слоёв регулярных морфизмов, вычисление размерностей проективных многообразий при помощи многообразий инцидентности.
PDF, 198 Kb [обновлено 05.04.2015].
Лекция 13.
Алгебраические расширения полей, сепарабельность, башни примитивных расширений, теорема о примитивном элементе. Продолжение вложения полей до вложения алгебраического расширения, нормальные расширения, расширения Галуа. Поля разложения и алгебраические замыкания. Группы автоморфизмов конечных расширений, всякое поле является расширением Галуа подполя инвариантов любой конечной группы своих автоморфизмов. Конечное поле является расширением Галуа своего простого подполя, а его группа автоморфизмов — циклическая группа, порождённая Фробениусом.
PDF, 139 Kb [обновлено 22.04.2015].
Лекция 14.
Примеры из теории Галуа. Квадратичные расширения и построения циркулем и линейкой. Группы многочленов и их вычисление редукцией по простому модулю. Круговые поля, элементы Фробениуса. Циклические расширения. Разрешимые расширения, теорема Абеля.
PDF, 142 Kb [обновлено 22.04.2015].
Задачи можно решать в любом порядке в течение всего семестра, вплоть до начала экзамена. Задачи делятся на «обязятельные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не является необходимым для получения максимальной итоговой оценки. В первом семестре обязательны все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами с 1-го по 7-й включительно. Во втором семестре обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами, начиная с 7-го включительно. Все остальные задачи — дополнительные. Решения задач рекомендуется записывать. Сдавать решённые задачи можно только специально авторизованным для этого преподавателям письменно или устно во время отведённых под это занятий. Результат такой сдачи фиксируется в имеющийся на обороте каждого листка персональный табель, где преподаватель указывает дату сдачи задачи и пишет своё имя. Не теряйте табели — их содержимое существенно влияет на итоговую отметку, и они являются единственными источником информации о том, сколько задач Вы сдали.
Выданные на текущий момент листки с задачами:
Первый семестр
- Листок 1 (выдавался 11 сентября):
тензорные произведения.
- Листок 2 (выдавался 25 сентября):
тензорная, симметрическая и внешняя алгебра.
- Листок 3 (выдавался 2 октября):
симметрические функции.
- Листок 4 (выдавался 16 октября):
исчисление массивов, таблиц и диаграмм.
- Листок 5 (выдавался 30 октября):
маленькие линейные представления.
- Листок 5 1/2 (необязательный) (выдавался 13 ноября):
sl2–модули.
- Листок 6 (выдавался 20 ноября):
индуцированные представления.
- Листок 6 1/2 (необязательный) (выдавался 27 ноября):
представления симметрических групп.
- Листок 7 (выдавался 5 декабря):
категории и функторы.
Второй семестр
- Листок 7 (выдавался 5 декабря):
категории и функторы.
- Листок 8 (выдавался 17 февраля):
расширения коммутативных колец.
- Листок 9 (выдавался 24 февраля):
многочлены и аффинные алгебраические многообразия.
- Листок 10 (выдавался 3 марта):
аффинная алгебраическая геометрия.
- Листок 11 (выдавался 24 марта):
алгебраические многообразия.
- Листок 12 (выдавался 7 апреля):
алгебраические расширения полей.
- Листок 13 (выдавался 14 апреля):
соответствие Галуа.
В каждом семестре за курс алгебры выставляется одна итоговая отметка. Она складывается из результатов итогового письменного экзамена и общего числа решённых Вами в течение семестра обязательных задач из листков. Если Вы решили E% экзаменационного задания и L% от общего числа обязательных задач, выданных в течение семестра, отметка «отлично» ставится при L+E>140, отметка «хорошо» при L+E>100, отметка «удовлетворительно» при L+E>60. При этом L = 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что L может быть больше 100.
Экзамен состоит из двух независимых письменных работ. Первая проводится в конце семестра, вторая — в начале следующего. Обе работы равноправны и можно написать любую из них или обе сразу. В последнем случае в качестве результата экзамена берётся лучший из двух результатов.
