Помимо моих собственных записок, которые по мере готовности будут появляться ниже, я рекомендую следующие учебники:
- M.Audin. Geometry. Springer Universitext, 2003 (есть в колхозе)
- М.Берже. Геометрия. Т. 1, 2. М., «Мир», 1974 (есть в колхозе).
- Э.Б.Винберг. Курс алгебры (есть в колхозе)
- А.Л.Городенцев. Геометрия (PDF 7,1Mb, версия от 11.09.2017).
- А.Л.Городенцев. Алгебра – 1 (PDF 4.5Mb, версия от 05.2011).
- Г.Клеменс. Мозаика теории комплексных кривых. М.: «Мир», 1984 (есть в колхозе).
- Г.С.М.Кокстер. Введение в геометрию. М.: «Наука», 1966 (есть в колхозе).
- А.И.Кострикин, Ю.И.Манин. Линейная алгебра и геометрия (есть в колхозе)
- Д.Милнор, Д.Хьюзмоллер. Симметрические билинейные формы. М.: «Наука», 1986 (есть в колхозе).
- В.В.Прасолов, В.М.Тихомиров. Геометрия. М., «МЦНМО», 1997 (есть в колхозе).
Все имеющиеся на сегодняшний день записки лекций
одним файлом: PDF, 6.7 Mb [обновлено 3.06.2020].
- Неформальное предисловие к этому курсу [обновлено 30.09.2019]. Точки и векторы. Группы преобразований. Абелева группа сдвигов. Основное поле.
- Лекция 1 [обновлено 5.11.2019]. Определение векторного пространства и линейного отображения. Одномерные пространства, пропорциональность векторов. Двумерное пространство и его базисы. Определитель 2x2, правило Крамера. Площадь ориентированного параллелограмма. Аффинное пространство, векторизация и аффинизация, аффинные координаты. Барицентр и барицентрические комбинации точек. Деление отрезка в заданном отношении, коллинеарность, определение прямой. Уравнения и взаимное расположение прямых на плоскости. Площади треугольников и многоугольников. Барицентрические координаты на плоскости.
- Лекция 2 [обновлено 5.11.2019]. Аффинные отображения, дифференциал аффинного отображения. Запись линейных и аффинных отображений в координатах, умножение матриц. Аффинная группа, аффинное преобразование плоскости однозначно задаётся образом треугольника. Двойное отношение четырёх конкурентных прямых и четырёх коллинеарных точек. Аффинная группа является полупрямым произведением группы сдвигов и полной линейной группы. Полуафинные преобразования (преобразования, перводящие прямые в прямые).
- Лекция 3 [обновлено 5.11.2019]. Евклидовы пространства. Неравенства треугольника и Коши–Буняковского–Шварца. Ортонормальные базисы, определитель Грама и евклидова площадь. Ориентированный угол между векторами. Двойное отношение точек на окружности. Собственные и несобственные движения плоскости, теорема Шаля. Геометричское описание поля комплексных чисел, евклидова плоскость как комплексная прямая. Преобразования подобия.
- Лекция 4 [обновлено 5.11.2019]. Порождающие системы векторов. Линейная (не)зависимость. Лемма о замене. Базисы и размерность. Суммы и пересечения векторных подпространств, трансверсальность. Взаимное расположение аффинных подпространств в аффинном пространстве. Ядро и образ линейного отображения, связь размерности непустого слоя с размерностью образа, критерии биективности линейного эндоморфизма. Матрица линейного отображения.
- Лекция 5 [обновлено 5.11.2019]. Умножение матриц, матрицы перехода. Обратимые матрицы, критерии обратимости. Изменение координат векторов и матриц линенйых отображений при изменении базисов. Теорема о ранге матрицы. Матричная запись и качественный анализ систем линейных уравнений. Ассоциативные алгебры над полем, алгебраические элементы, алгебраичность эндоморфизма конечномерного пространства. Образующие алгебры матриц. Матрицы над ассоциативным кольцом, обращение унитреугольной матрицы.
- Лекция 6 [обновлено 5.11.2019]. Метод Гаусса: отыскание в линейной оболочке заданных векторов базиса с приведённой ступенчатой матрицей координат, обращение квадратной матрицы, решение систем линейных уравнений. Комбинаторный тип подпространства относительно базиса, две матрицы имеют одинаковые линейные оболочки строк тогда и только тогда, когда они преобразуются методом Гаусса в одну и ту же приведённую ступенчатую матрицу.
- Лекция 7 [обновлено 12.11.2019]. Двойственные пространства, двойственные базисы, координаты линейного функционала в двойственном базисе. Отождествление конечномерного пространства с дважды двойственным, свёртка векторов с ковекторами. Аннуляторы и системы линейных уравнений. Пространcтва, двойстенные к подпространствам и к фактор пространствам, ещё раз теорема о ранге матрицы. Двойственные линейные отображения и ещё раз теорема о ранге матрицы. Добавление: теоретико-множественное отступление о бесконечномерии.
- Лекция 8 [обновлено 14.11.2019]. Объём ориентированного n-мерного параллелепипеда. Комбинаторное отступление: знак и длина перестановки. Пространство n-линейных кососимметричных форм на n-мерном векторном пространстве одномерно. Определитель квадратной матрицы: инвариантность относительно транспонирования, полилинейность, кососимметричность, мультипликативность. Определитель линейного оператора. Правила Крамера для решения невырожденных систем из n линейных уравнений на n неизвестных и n линейных однородных уравнений на n+1 неизвестных. Геометрические примеры. Присоединённая матрица и формула для обратной матрицы. Матрицы над кольцом многочленов = многочлены с коэффициентами в алгебре матриц, тождество Гамильтона–Кэли.
- Лекция 9 [обновлено 27.02.2020]. Вариации на темы определителей: барицентрические координаты как отношения объёмов, грассмановы многочлены и грассманова алгебра векторного пространства, соотношения Лапласа (разложение определителя по набору строк), определитель пучка матриц.
- Лекция 10 [обновлено 27.02.2020]. Пространство с оператором: приводимость, разложимость, характеристический и минимальный многочлены. Собственые подпространства и собственные числа, трансверсальность собственных подпространств с разными собственными числами. Разложение пространства с оператором по разложению аннулирующего оператор многочлена на взаимно простые множители, корневое разложение, необходимые и достаточные условия диагонализуемости. Вычисление функций от опраторов при помощи полиномиальной интерполяции. Разложение Жордана.
- Лекция 11 [обновлено 27.02.2020]. Многомерные евклидовы пространства: ортогонализация Грама–Шмидта, ортогональные дополнения и ортогональные проекции, евклидово двойственные базисы. Матрицы и определители Грама, евклидов объём и ориентация. Уравнение гиперплоскости, вычисление углов между гиперплоскостями и расстояния от точки до гиперплоскости. Расстояние между непересекающимися аффинными подпространствами, угол между вектором и подпространством. Векторные произведения.
- Лекция 12 [обновлено 27.02.2020]. Разложение ортогонального оператора на евклидовом пространстве в композицию отражений и в ортогональную прямую сумму поворотов. Пример: ортогональные линейные преобразования и движения трёхмерного пространства. Евклидово сопряжение линейных операторов, ортогональная диагонализация самосопряжённого оператора, канонический вид антисамосопряжённого оператора. Сингулярные направления и сингулярные числа линейного отображения между евклидовыми пространствами, полярное разложение и SVD-разложение.
- Лекция 13 [обновлено 27.02.2020]. Выпуклые фигуры, замкнутая выпуклая фигура является пересечением опорных полупространств. Грани и крайние точки, ограниченная замкнутая выпуклая фигура является выпуклой оболочкой своих крайних точек. Цилиндры. Перечисление граней выпуклого многогранника и выпуклого многогранного конуса. Лемма Фаркаша, теорема Минковского–Вейля и разложение Моцкина. Проективный и асимптотический конусы выпуклого многогранника, двойственные конусы и двойственные многогранники.
- Лекция 14 [обновлено 27.02.2020]. Пространство с билинейнолй формой: матрицы Грама, левая и правая корреляции, ядра, ранг и коранг, изометрические линейные отображения. Невырожденные формы: линейный изоморфизм между пространством билинейных форм и пространством линейных операторов, две невырожденные формы изометрически изоморфны если и только если их каногнические операторы подобны, группа изометрий, левый и правый двойственные базисы, левый и правый ортогоналы и ортогональные проекции для подпространства, на которое билинейная форма ограничивается невырождено. Симметричные и кососимметричные формы: корреляции и ядро, ограничение на дополнение к ядру и спуск на фактор по ядру невырождены, теорема Лагранжа о диагонализации симметричной билинейной формы и теорема Дарбу о нормальном виде кососимметричной билинейной формы. Примеры: евклидовы, гиперболические и симплектические формы, группа изометрий гиперболической плоскости.
- Лекция 15 [обновлено 29.02.2020]. Пространства со скалярным произведением: лемма Витта, ортогональная группа порождается отражениями и транзитивно действует на изотропных и гиперболических подпространствах заданной размерности, разложение в ортогональную прямую сумму гиперболического и анизотропного подпространств, ортогональная диагонализация самосопряжённых операторов. Квадратичные формы: поляризация, приведение к сумме квадратов и к сумме гиперболической и анизотропной форм. Вещественные квадратичные формы: диагонализация в евклидово ортонормальном базисе и отыскание сигнатуры. Квадратичные формы над конечными полями характеристики > 2.
- Лекция 16 [обновлено 29.02.2020]. Невырожденные кососимметричные формы: каждое изотропное подпространство достраивается до симплектического и содержится в лагранжевом, описание лагранжевых подпространств, дополнительных к заданному. Грассмановы квадратичные формы: приведение к нормальному виду Дарбу и критерий разложимости на два линейных множителя. Пфаффиан кососимметрической матрицы. Симплектическая группа: вложение GLn в Sp2n, симплектический оператор имеет определитель 1 и возвратный характеристический многочлен.
- Лекция 17 [обновлено 27.03.2020]. Проективные пространства: аффинные карты, локальные аффинные и глобальные однородные координаты, топологические модели комплексных и вещественных проективных пространств малой размерности. Проективные подпространства: размерность пересечения, дополнительные подпространства и проекции, проективная двойственность. Проективные квадрики: касательное пространство, поляра точки, простые и особые точки, классификация коник, рациональная параметризация непустой гладкой коники. Однородные многочлены и проективные гиперповерхности, проективное замыкание аффинной гиперповерхности. Наборы неупорядоченных точек на прямой и рациональные нормальные кривые. Пространство гиперповерхностей, линейные системы гиперповерхностей.
- Лекция 18 [обновлено 6.04.2020]. Проективное преобразование Pn ↠ Pn однозначно задаётся действием на n+2 точки, пример: эпиморфизм S4 ↠ S3. Рациональная биекция P1 ↠ P1 является гомографией, разложение гомографии в композицию перспектив, перекрёстная ось. Задание гомографии коникой, трассировка коники линейкой, теорема Паскаля. Группа дробно линейных автоморфизмов прямой, двойное отношение, специальные четвёрки точек, гармоническое отношение, гармонические четвёрки прямых в четырёхвершиннике. Двойное отношение и гомографии на гладкой конике, инволюции, построение неподвижных точек, поляр и касательных.
- Лекция 19 [обновлено 27.03.2020]. Гладкие квадрики: полярное преобразование, сопряжённость точек и гиперплоскостей, двойственная квадрика, примеры: задание гомографии семейством касательных к конике, вписано-описанные треугольники, гармонически описанные квадрики, гиперплоскости в пространстве квадрик. Проективные подпространства, лежащие на гладкой квадрике, планарность, гиперплоские сечения гладкой квадрики. Проективная конгруэнтность квадрик, классификация комплексных и вещественных проективных квадрик. Квадратичные поверхности, квадрика Сегре. Квадрика Плюккера и геометрия прямых в P3.
- Лекция 20 [обновлено 31.03.2020]. Пучки квадрик: базисное множество, характеристические числа, кратность характеристического числа не меньше коранга соответствующей особой квадрики. Примеры: пучки коник, построение Штейнера, инволюция Дезарга, коника центров и коника одиннадцати точек. Касательное пространство к проективной гиперповерхности, гладкие точки и касательные пространства гиперповерхности особых квадрик. Одновременная диагонализация всех квадрик регулярного пучка, критерий проективной конгруэнтности регулярных пучков. Простые пучки, критерий простоты пучка.
- Лекция 21 [обновлено 24.05.2020]. Вложение R2 в P2=P(C3), конформная структура на вещественной плоскости, углы и абсолютные направления. Эллипсы, гиперболы и параболы: центр, вершина, асимптоты и главные оси, фокусы и директрисы. Конформная геометрия парабол и центральных коник: директор, софокусные семейства, фокальные свойства геометрической оптики, гипербола Аполлония и перпендикуляры к конике, опущенные из данной точки.
- Лекция 22 [обновлено 29.05.2020]. Сравнение аффинной и проективной линейных групп. Классификация аффинных квадрик над алгебраически замкнутым полем и над полем R: гладкие центральные квадрики, параболоиды, простые конусы и цилиндры. Пример: список непустых вещественных аффинных «кривых» и «поверхностей» второй степени. Топология вещественных квадрик. Классификация квадрик в евклидовом пространстве, примеры: теоремы типа Аполлония, ортооптическая сфера центральной квадрики и директриса параболоида.
- Лекция 23 [обновлено 3.06.2020]. Сферы: степень точки, гиперплоские сечения, радикальная гиперплоскость. Сферы как комплексные проективные квадрики: пространство сфер, пучки сфер. Инверсии евклидова пространства относительно сферы, конформность инверсий. Стереографические проекции и инверсии сфер. Группы Мёбиуса PO(n,1)=M(Sn-1)=M(Rn-1).
В связи с разжалованием (надеюсь, что временным) всех студентов в заочники, прочитанные после 16 марта лекции записываются на видео и выкладываются в YouTube. Просмотреть их можно здесь. Вот ссылки на отдельные лекции:
- Лекция 17 марта [запись 23.03.2020]. Параметризация гладкой коники. Проективные и аффинные гиперповерхности. Линейные системы гиперповерхностей. Через 5 точек проходит коника.
- Лекция 24 марта. Однородные многочлены от двух переменных. Конфигурации точек на прямой и кривые Веронезе. Проективные преобразования, проективная группа, биективное рациональное отображение между прямыми является гомографией.
- Лекция 26 марта. Перекрёстная ось гомографии. Задание гомогрфии коникой, теорема Паскаля. Гомографии между пучками прямых. Двойное отношение.
Лекция Консультация 31 марта. Двойное отношение. Гармонические четвёрки точек. Гомографии на конике. Снимок доски: 1000x9107 pix, PDF 1.3 Mb.
Лекция Консультация 2 апреля, к сожадению, не записалась из-за того, что zoom прервал трансляцию. Есть только снимок доски: 1000x9500 pix, PDF 1.4 Mb.
- Лекция 7 апреля. Полярное преобразование. Двойственная квадрика. Примеры из геометрии коник. Точки x и y сопряжены относительно квадрики если и толко если они гармоничны точкам пересечения прямой (xy) с этой квадрикой. Снимок доски: 1000x9952 pix, PDF 5.3 Mb.
- Лекция 14 апреля. Пучки квадрик, коранг особой квадрики не меньше её кратности в спектре пучка. Коники, относительно которых данная точка имеет заданную поляру образуют подпространство коразмерности 2. Снимок доски: 1000x9902 pix, PDF 1.3 Mb.
- Лекция 16 апреля. Пучки коник, построение Штейнера, инволюция Дезарга. Снимок доски: 1000x6392 pix, PDF 900Kb.
- Лекция 21 апреля. Конформная структура на плоскости, эллипсы гиперболы и параболы, фокусы, директрисы и главные оси центральных коник. Снимок доски: 1000x11619 pix, PDF 1,2Mb.
- Лекция 28 апреля. Отыскание вершины и главных осей параболы. Директор коники. Конфокальные семейства и фокальные свойства коник. Снимок доски: 1000x11141 pix, PDF 1,2Mb.
- Лекция 12 мая. Классификация проективных квадрик, планарность гладкой квадрики. Гиперплоское сечение гладкой квадрики. Примеры квадрик максимальной планарности: квадрика Сегре и квадрика Плюккера. Снимок доски: 1000x14599 pix, PDF 1,6Mb.
- Лекция 14 мая. Квадрика Плюккера и геометрия прямых в P3. Вложение аффинной группы в проектиную, проективная конгуэнтность vs аффинная конгуэнтность. Снимок доски: 1000x11186 pix, PDF 1,4Mb.
- Лекция 19 мая. Классификация аффинных квадрик: гладкие центральные квадрики, параболоиды, простые конусы и цилиндры. Снимок доски: 1000x13916 pix, PDF 1,6Mb.
- Лекция 26 мая. Вещественные аффинные квадрики и квадрики в евклидовом пространстве. Снимок доски: 1000x14104 pix, PDF 1,6Mb.
- Лекция 28 мая. Квадрики в евклидовом пространстве, теорема Аполлония, ортооптическая сфера. Снимок доски: 1000x15126 pix, PDF 1,7Mb.
- Лекция 2 июня. Сферы: степень точки, радикалная ось двух сфер, пространство сфер, пучки сфер. Инверсия пространства относительно сферы. Снимок доски: 1000x13296 pix, PDF 1,4Mb.
- Лекция 9 июня. Конформность инверсии и стереографической проеции, инверсии сферы, группа Мёбиуса. Снимок доски: 1000x14542 pix, PDF 1,6Mb.
Задачи для самостоятельного решения можно сдавать в течение всего семестра, но только преподавателю, который ведёт семинары по геометрии в Вашей группе, и его специально авторизованным для приёма этих задач помощникам, контакты которых он Вам укажет. Порядок сдачи задач также устанавливается преподавателем, ведущим семинары в Вашей группе. Задачи для самостоятельного решения делятся на «обязательные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не обязательно для получения максимальной итоговой оценки. Обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи — дополнительные. Решения задач необходимо записывать. В первом семестре учитываются листки с 1-го по 7-й включительно, во втором семестре учитываются листки с 7-го включительно по 14-й включительно.
В течение первого семестра были 3 контрольные работы:
- Контрольная №1 «Планиметрия» проходила с 30 сентября по 4 октября. Образец варианта.
- Контрольная №2 «Матрицы и метод Гаусса» проходила с 28 октября по 1 ноября. Образец варианта.
- Контрольная №3 «Определители и операторы» проходила с 9 по 13 декабря. Задачи для подготовки.
Во втором семестре планируются 4 контрольные работы:
- Контрольная №4 «Евклидовы пространства» проходила с 3 по 7 февраля. Задачи для подготовки.
- Контрольная №5 «Билинейные и квадратичные формы» проходила c 5 по 13 марта. Задачи для подготовки.
- Контрольная №6 «Гомографии и коники» была 30 апреля. Задачи для подготовки.
- Контрольная №7 «Евклидовы квадрики и сферы» была 11 июня. Задачи для подготовки. Результаты проверки станут известны во вторник 16.06 в 1600. Предъявить претензии и задать вопросы по поводу проверки и оценок можно до 1600 среды 17.06. Для этого надо написать электронное письмо или оставить на сервере online.hse.ru личное сообщение преподавателю, ведущему семинары в Вашей группе, с чётким описанием претензий и вопросов.
по материалам первой четверти был в понедельник, 21.10.2019.
Список предлагавшихся вопросов.
Список предлагавшихся задач.
В первом семестре
на итоговую отметку влияют: оценка C за коллоквиум, оценка S за работу на семинаре, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле:
100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(400,С+S+L+K+E)/40
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно иметь по 80 баллов в каждом из пяти видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 400 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
Итоговый письменный экзамен за первый семестр проходил в среду 25 декабря с 1100 до 1400 (программа экзамена). Показ работ, урегулирование претензий и объявление окончательной отметки состоялись в пятницу 27 декабря в 1500 в ауд. 427.
Во втором семестре
на итоговую отметку влияют: оценка S за работу на семинаре, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач точно так же, как и в первом семестре. Во втором семестре вклад в величину L вносят листки начиная с 7-го включительно, а в величину K — контрольные начиная c 4-й включительно. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(300,S+L+K+E)/30
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно иметь по 75 баллов в каждом из четырёх видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 300 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
Итоговый письменный экзамен за второй семестр состоится в четверг 18 июня с 1000 до 1330 (программа экзамена) на платформе online.hse.ru по тому же регламенту, как и контрольные №№6,7. Неспособность вовремя войти в систему и/или вовремя загрузить туда решения по техническим причинам, не связанным с работоспособностью самой системы, не является уважительной причиной для нарушения регламента или пропуска экзамена. Не загруженные на сервер online.hse.ru работы проверяться не будут. Результаты проверки экзаменационных работ и итоговые оценки будут известны во вторник 23.06 в 1600. Предъявить претензии и задать вопросы по поводу проверки и оценок можно до 1600 среды, 24.06. Для этого надо написать электронное письмо или оставить на сервере online.hse.ru личное сообщение преподавателю, ведущему семинары в Вашей группе, с чётким описанием претензий и вопросов, отправив копию А. Л. Городенцеву. Результаты рассмотрения претензий придут по электронной почте до 12:00 четверга 25.06. Окончательная фиксация не подлежащих дальнейшему обжалованию оценок (заполнение экзаменационных ведомостей) произойдёт в пятницу 26.06 в 1600.
