на мою стартовую страницу
на стартовую страницу лаборатории

 

 

  Учебные материалы к годовому курсу «Алгебра II»
2-й курс НМУ, 2021/22 уч.г.

Содержание:
просмотр своих результатов
программа курса (PDF, 94 kb),
учебники
лекции
задачи
экзамены и оценки

Учебники

Помимо записок лекций, которые мало-помалу будут пояляться ниже, для подготовки к экзаменам и при решении задач я рекомендую учебники:
  1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
  2. С.И.Гельфанд, Ю.И.Манин Методы гомологической алгебры, том I. М., «Наука» (есть в колхозе)
  3. А.Л.Городенцев. Алгебра для студентов-математиков. Часть II. (версия от 06.2015: PDF 2.1Mb)
  4. С.Ленг. Алгебра. М., «Мир» (есть в колхозе)
  5. У.Фултон. Таблицы Юнга и их применение в ... М., «МЦНМО» (есть в колхозе)
  6. W.Fulton, J.Harris. Representation Theory. A first course. (есть в колхозе)
  7. И.Р.Шафаревич. Основные понятия алгебры. ВИНИТИ, Совр. Пробл. Математ. Фундам. Напр., Алгебра-1 (есть в колхозе)

Лекции

С 28 октября лекции происходят в zoom 308 401 5917 (код доступа ALG). Все доступные на сегодня конспекты лекций одним файлом: PDF 1.5 Mb обновлён 17.05.2022. Видеозаписи лекций: первый семестр, второй семестр.

Тема 1. Полилинейные отображения и тензорные произведения модулей над коммутативным кольцом. Универсальное свойство и канонические изоморфизмы. Базис тензорного произведения векторных пространств, изоморфизм U*⊗W=Hom(U,W), многообразия Сегре. Тензорные произведения абелевых групп. Тензорные произведения линейных отображений. Образующие и соотношения тензорного произведения модулей, заданных образующими и соотношениями.. Конспект: PDF 118 kb обновлён 9.09.2021. Видеозапись: лекция 9.09.

Тема 2. Тензорная, симметрическая и внешняя алгебры модуля над коммутативным кольцом. Свёртки и линейный носитель тензора в тензорной алгебре векторного пространства, полилинейные формы как тензоры. Симметрические и косососимметрические тензоры над полем характеристики нуль, поляризация и частные производные коммутативных и грассмановых многочленов, описание коммутативных и грассмановых многочленов с минимально возможными линейными носителями. Примеры: разложение Тейлора, касательные и поляры проективных гиперповерхностей, задание многообразий Сегре и Грассмана квадратными уравнениями, многообразия Сегре как линейные сечения грассманианов. Конспект: PDF 200 kb обновлён 15.09.2021. Видеозаписи: лекция 16.09, лекция 23.09.

Тема 3. Симметрические и кососимметрические многочлены и ряды. Мономиальные, элементарные и полные симметрические многочлены, многочлены Ньюьона и детерминантные многочлены Шура. Выражение элементарных и полных многочленов через Ньютоновские и друг через друга. Выражение детерминантных многочленов Шура через полные (формула Джамбелли). Формула Пьери для умножения полинома Шура на полный симметрический многочлен. Кольцо симметрических функций. Конспект: PDF 113 kb обновлён 22.10.2021. Видеозаписи: лекция 30.09, лекция 7.10.

Тема 4. Исчисление массивов, таблиц и диаграмм. Элементарные операции над масивами и уплотнение массивов, теорема о биекции, соотношения между количествами таблиц и стандартных таблиц. Действие симметрической группы на массивах. Полиномы Шура DU-множеств и DU-орбит, числа Костки, правило Литтлвуда–Ричардсона и тождество Якоби–Труди. Конспект: PDF 253 kb обновлён 23.10.2021. Видеозаписи: лекция 14.10, лекция 21.10.

Тема 5. Основные понятия теории представлений: приводимость, разложимость, полупростота, гомоморфизмы представлений, лемма Шура, изотипные подмодули и изотипное разложение полупростого модуля. Полупростые модули над ассоциативными алгебрами: свойства, теорема о двойном централизаторе, теорема Бернсайда. Представления абелевых групп: мультипликативные характеры, двойственность Понтрягина и преобразование Фурье. Строение групповой алгебры конечной группы, полная приводимость представлений, соотношения на количество и размерности неприводимых представлений. V⊗n как Sn×GL(V)-модуль: тип симметрии тензора, соответствие Шура–Вейля. Конспект: PDF 173 kb обновлён 22.02.2022. Видеозаписи: лекция 28.10 не записывалась, есть только снимки доски (первая половина, вторая половина), лекция 4.11 (снимки доски первая половина, вторая половина).

Тема 6. Скалярное произведение на групповой алгебре конечной группы, формула Планшереля, ортогональное разложение единицы в сумму проекторов на изотипные компоненты. Преобразование Фурье. Теория характеров, кольцо представлений. Индуцированные и коиндуцированные представления, взаимность Фробениуса. Конспект: PDF 132 kb обновлён 22.02.2022. Видеозаписи: лекция 11.11 (снимки доски первая половина, вторая половина), лекция 18.11 (снимки доски первая половина, вторая половина), лекция 25.11 (снимки доски первая половина, вторая половина).

Тема 7. Действие симметрической группы на заполненных диаграммах Юнга, симметризаторы Юнга и минимальные левые идеалы групповой алгебры C[Sn]. Модуль таблоидов и его характер. Модуль Шпехта и его табличный базис. Изометрический изоморфизм кольца представлений симметрических групп с кольцом симметрических функций: умножение Литтлвуда–Ричардсона, правила ветвления и формула Фробениуса для неприводимых характеров. Конспект: PDF 142 kb обновлён 22.02.2022. Видеозаписи: лекция 2.12 (снимки доски первая половина, вторая половина), лекция 9.12 (снимки доски первая половина, вторая половина), лекция 16.12 (снимки доски первая половина, вторая половина).

Тема 8. Категории, функторы, предпучки. Важные примеры: триангулированные пространтва, (полу)симплициальные множества. Эквивалентные категории. Категория функторов, леммы Ионеды. Представимые функторы. Сопряжённые функторы, примеры: свободные модули, тензорное произведение и Hom, геометрическая реализация и сингулярные симплексы. Конспект: PDF 372 kb обновлён 22.02.2022. Видеозаписи: лекция 10.02 (снимки доски первая половина, вторая половина), лекция 17.02 не записывалась, есть только снимки доски: первая половина, вторая половина, лекция 24.02 (снимки доски первая половина, вторая половина).

Тема 9. Целые элементы в расширених комутативных колец. Лемма Гаусса. Примеры: целые алгебраические числа, размерность комплексного неприводимого представления конечной группы делит индекс любой нормальной абелевой подгруппы. Алгебраические и трансцендентные элементы алгебр над полем. Если конечно порождённая алгебра над полем K является полем, то она алгебраична над K. Нормальные кольца, минимальный многочлен алгебраического элемента любой алгебры над полем частных нормального кольца имеет коэффициенты в самом кольце. Базисы трансцендентности и трансцендентная размерность целостной алгебры. Конспект: PDF 110 kb обновлён 2.03.2022. Видеозаписи: лекция 3.03 (снимки доски первая половина, вторая половина), лекция 10.03 (снимки доски первая половина, вторая половина).

Тема 10. Аффинные алгебраические многообразия, теорема Гильберта о нулях. Категория аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем контровариантно эквивалентна категории конечно порождённых приведённых алгебр над этим полем. Максимальный спектр, топология Зарисского, пучок рациональных функций. Геометрические свойства гомоморфизмов алгебр: замкнутые вложения, доминантные морфизмы, конечные морфизмы, конечный сюрьективный морфизм на нормальное многообразие открыт. Конспект: PDF 146 kb обновлён 18.03.2022. Видеозаписи: лекция 17.03 (снимки доски первая половина, вторая половина), лекция 24.03 (снимки доски первая половина, вторая половина).

Тема 11. Определение алгебраического многообразия, примеры: проективные пространства, грассманианы, замкнутые подмногообразия, аффинные и проективные многообразия. Структурный пучок, регулярные и рациональные отображения, график регулярного морфизма в отделимое многообразие замкнут. Системы результатнтов, регулярный морфизм из проективного многообразия в отделимое замкнут, а в аффинное стягивает каждую связную компоненту в точку. Раздутие точки, конечность проекции проективного многообразия из не лежащей на нём точки на гиперплоскость, нётерова нормализация. Размерность, размерности подмногообразий, размерности слоёв регулярных морфизмов, вычисление размерностей проективных многообразий при помощи многообразий инцидентности. Конспект: PDF 163 kb обновлён 30.03.2022. Видеозаписи: лекция 31.03 (снимки доски первая половина, вторая половина), лекция 07.04 (снимки доски первая половина, вторая половина), лекция 14.04 (снимки доски первая половина, вторая половина), лекция 21.04 (снимки доски первая половина, вторая половина).

Тема 12. Алгебраические расширения полей, сепарабельность, башни примитивных расширений, теорема о примитивном элементе. Продолжение вложений полей на алгебраические расширения. Поля разложения и алгебраические замыкания. Нормальные расширения, расширения Галуа, критерии нормальности и сепарабельности. Автоморфизмы конечных расширений, примеры: всякое поле является расширением Галуа подполя инвариантов любой конечной группы своих автоморфизмов, конечное поле является расширением Галуа своего простого подполя с циклической группой автоморфизмов, порождённой Фробениусом. Соответствие Галуа. Конспект: PDF 142 kb обновлён 17.05.2022. Видеозаписи: лекция 28.04 (снимки доски первая половина, вторая половина), лекция 5.05 (снимки доски первая половина, вторая половина).

Тема 13. Квадратичные расширения и построения циркулем и линейкой. Группы Галуа многочленов и их вычисление редукцией по простому модулю. Круговые поля, элементы Фробениуса и Гауссовы суммы. Циклические расширения. Разрешимые расширения, теорема Абеля. Конспект: PDF 142 kb обновлён 17.05.2022. Видеозаписи: лекция 12.05 (снимки доски первая половина, вторая половина), лекция 19.05 (снимки доски первая половина, вторая половина).

Задачи для самостоятельного решения

делятся на «обязятельные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не является необходимым для получения максимальной итоговой оценки. Обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все остальные задачи — дополнительные. Решения задач следует записывать. Сдавать решённые задачи можно только специально авторизованным для этого преподавателям в zoom по личной договорённости со своим преподавателем. В первом семестре учитывались листки с 1-го по 7-й включительно. Во втором семестре учитываются листки с 8-го по 13-й включительно.

Экзамены и оценки

После каждого семестра по этому курсу проводится письменный экзамен и выставляется итоговая оценка, которая складывается из доли E решённых экзаменационных задач и доли L решённых в течение семестра задач из листков. Обе доли вычисляются в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в каждом из видов, по формуле: 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что результат может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле:

min(150,L+E)/30

Таким образом, для получения максимальной оценки 5 достаточно решить 75% задач из листков и 75% экзаменационных задач или каким-то другим способом набрать L+E=150. При наборе меньшей суммы L+E итоговая оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).

Каждый экзамен состоит из двух независимых письменных работ. Первая проводится в конце текущего семестра, вторая — в начале следующего. Обе работы равноправны и можно написать любую из них или обе сразу. В последнем случае в качестве E берётся наибольший из двух результатов.

Первый экзамен за первый семестр был в воскресенье 19 декабря заочно.
Второй экзамен за первый семестр был в воскресенье 20 февраля заочно.

Первый экзамен за второй семестр состоится в воскресенье 22 мая с 10:00 до 14:00 заочно: задачи экзамена будут выложены тут в 10:00, сканы или фотографии написанных от руки решений следует прислать e-mail'ом Алексею Городенцеву до 14:00. При этом необходимо соблюдать следующие техниченские требования: