Помимо моих собственных записок, которые по мере готовности будут появляться ниже, я рекомендую следующие учебники:
- M.Audin. Geometry. Springer Universitext, 2003 (есть в колхозе)
- М.Берже. Геометрия. Т. 1, 2. М., «Мир», 1974 (есть в колхозе).
- Э.Б.Винберг. Курс алгебры (есть в колхозе)
- А.Л.Городенцев. Геометрия (PDF 7,1Mb, версия от 11.09.2017).
- А.Л.Городенцев. Алгебра – 1 (PDF 4.5Mb, версия от 05.2011).
- Г.Клеменс. Мозаика теории комплексных кривых. М.: «Мир», 1984 (есть в колхозе).
- Г.С.М.Кокстер. Введение в геометрию. М.: «Наука», 1966 (есть в колхозе).
- А.И.Кострикин, Ю.И.Манин. Линейная алгебра и геометрия (есть в колхозе)
- Д.Милнор, Д.Хьюзмоллер. Симметрические билинейные формы. М.: «Наука», 1986 (есть в колхозе).
- В.В.Прасолов, В.М.Тихомиров. Геометрия. М., «МЦНМО», 1997 (есть в колхозе).
C 6 апреля лекции по геометрии проводятся с 930 до 1050 в ауд. 427 еженедельно по вторникам и по нечётным четвергам. Лекции транслируются на live.hse.ru, видеозаписи выкладываются на YouTube. Все имеющиеся на сегодняшний день конспекты лекций одним файлом: PDF, 6.8 Mb [обновлено 8.06.2021].
- Неформальное предисловие. Точки и векторы. Группы преобразований. Абелева группа сдвигов. Основное поле.
Конспект:
PDF 51kb обновлён 31.08.2020.
Видеозаписи:
лекция 03.09.2020.
- Тема 1. Определение векторного пространства и линейного отображения. Одномерные пространства, пропорциональность векторов. Двумерное пространство и его базисы. Определитель 2x2, правило Крамера. Площадь ориентированного параллелограмма. Аффинное пространство, векторизация и аффинизация, аффинные координаты. Барицентр и барицентрические комбинации точек. Деление отрезка в заданном отношении, коллинеарность, определение прямой. Уравнения и взаимное расположение прямых на плоскости. Площади ориентированных треугольников и многоугольников. Барицентрические координаты на плоскости.
Конспект:
PDF 221kb обновлён 29.09.2020.
Видеозаписи:
лекция 04.09.2020,
лекция 07.09.2020.
- Тема 2. Преобразования, перводящие прямые в прямые. Полулинейность и автоморфизмы полей. Линейные и аффинные отображения, дифференциал аффинного отображения, аффинное отображение плоскости однозначно задаётся образом треугольника. Запись линейных и аффинных отображений в координатах, умножение матриц. Аффинная группа является полупрямым произведением группы сдвигов и полной линейной группы. Двойное отношение четырёх конкурентных прямых и четырёх коллинеарных точек. Конспект: PDF 161kb обновлён 08.09.2020.
Видеозаписи:
лекция 08.09.2020,
лекция 14.09.2020,
лекция 21.09.2020.
- Тема 3. Евклидовы пространства. Неравенства треугольника и Коши–Буняковского–Шварца. Ортонормальные базисы, определитель Грама и евклидова площадь. Прямые на евклидовой плоскости. Ориентированный угол между векторами. Собственные и несобственные движения плоскости, теорема Шаля. Геометричское описание поля комплексных чисел, евклидова плоскость как комплексная прямая. Преобразования подобия. Конспект: PDF 316kb обновлён 26.10.2020.
Видеозаписи:
лекция 22.09.2020, лекция 28.09.2020.
- Тема 4. Порождающие системы векторов. Линейная (не)зависимость. Лемма о замене. Базисы и размерность. Суммы и пересечения векторных подпространств, прямые суммы. Ядро и образ линейного отображения, связь размерности непустого слоя с размерностью образа, критерии биективности линейного эндоморфизма. Взаимное расположение аффинных подпространств в аффинном пространстве, аффинные отображения. Фактор пространства. Конспект: PDF 119kb обновлён 26.10.2020. Видеозаписи:
лекция 5.10.2020, лекция 6.10.2020.
- Тема 5. Матрицы линейных отображений. Умножение матриц. Матрицы перехода. Обратимые матрицы, критерии обратимости. Изменение координат векторов и матриц линенйых отображений при изменении базисов. Теорема о ранге матрицы. Матричная запись и качественный анализ систем линейных уравнений. Ассоциативные алгебры над полем. Образующие алгебры матриц. Обращение верхней унитреугольной матрицы. Алгебраичность эндоморфизмов конечномерного пространства. Конспект: PDF 120kb обновлён 26.10.2020. Видеозаписи:
лекция 12.10.2020, лекция 28.10.2020.
- Тема 6. Метод Гаусса: отыскание в линейной оболочке заданных векторов базиса с приведённой ступенчатой матрицей координат, обращение квадратной матрицы, решение систем линейных уравнений, отыскание базисов в ядре и образе линейного отображения и в фактор пространстве. Комбинаторный тип подпространства относительно базиса, две матрицы имеют одинаковые линейные оболочки строк тогда и только тогда, когда они преобразуются методом Гаусса в одну и ту же приведённую ступенчатую матрицу. Конспект: PDF 118kb обновлён 12.11.2020. Видеозаписи:
лекция 29.10.2020, лекция 5.11.2020.
- Тема 7. Двойственные пространства, двойственные базисы, координаты линейного функционала в двойственном базисе. Отождествление конечномерного пространства с дважды двойственным, свёртка векторов с ковекторами. Аннуляторы и системы линейных уравнений. Пространcтва, двойстенные к подпространствам и к фактор пространствам, ещё раз теорема о ранге матрицы. Двойственные линейные отображения и ещё раз теорема о ранге матрицы. Добавление: о бесконечномерии. Конспект: PDF 137kb обновлён 12.11.2020. Видеозапись:
лекция 11.11.2020.
- Тема 8. Объём ориентированного n-мерного параллелепипеда. Пространство n-линейных кососимметричных форм на n-мерном векторном пространстве одномерно. Определитель квадратной матрицы: инвариантность относительно транспонирования, полилинейность, кососимметричность, мультипликативность. Определитель линейного оператора. Правила Крамера для решения невырожденных систем из n линейных уравнений на n неизвестных и n линейных однородных уравнений на n+1 неизвестных. Геометрические примеры. Присоединённая матрица и формула для обратной матрицы. Матрицы над кольцом многочленов = многочлены с коэффициентами в алгебре матриц, тождество Гамильтона–Кэли. Добавление: знак и длина перестановки. Конспект: PDF 136kb обновлён 25.11.2020. Видеозаписи:
лекция 12.11.2020,
лекция 19.11.2020
(снимки доски: первая половина, вторая половина).
- Тема 8½. Вариации на темы определителей: барицентрические координаты как отношения объёмов, грассмановы многочлены и грассманова алгебра векторного пространства, соотношения Лапласа (разложение определителя по набору строк), определитель пучка матриц. Конспект: PDF 338kb обновлён 24.11.2020.
Видеозаписи:
лекция 25.11.2020
(снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 26.11.2020 (снимки доски: первая половина, вторая половина).
- Тема 9. Пространство с оператором: приводимость, разложимость, характеристический и минимальный многочлены. Разложение пространства с оператором по разложению аннулирующего оператор многочлена на взаимно простые множители, примеры: проекторы и инволюции. Собственные подпространства и собственные числа, сумма собственных подпространств с разными собственными числами является прямой. Необходимые и достаточные условия диагонализуемости. Цикловой тип нильпотентного оператора. Корневое разложение, вычисление функций от опраторов и матриц при помощи полиномиальной интерполяции. Разложение Жордана и ЖНФ над алгебраически замкнутым полем. Конспект: PDF 146kb обновлён 1.12.2020.
Видеозаписи:
лекция 3.12.2020
(снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 9.12.2020 (снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 10.12.2020 (снимки доски: первая половина, вторая половина).
- Тема 10. Многомерные евклидовы пространства: ортогонализация Грама–Шмидта, ортогональные дополнения и ортогональные проекции, евклидово двойственные базисы. Матрицы и определители Грама, евклидов объём и ориентация. Уравнение гиперплоскости, вычисление углов между гиперплоскостями и расстояния от точки до гиперплоскости. Расстояние между непересекающимися аффинными подпространствами, угол между вектором и подпространством. Векторные произведения. Конспект: PDF 133kb обновлён 12.01.2021.
Видеозаписи:
лекция 12.01.2021,
лекция 19.01.2021.
- Тема 11. Разложение ортогонального оператора на евклидовом пространстве в композицию отражений и в ортогональную прямую сумму поворотов. Пример: ортогональные линейные преобразования и движения трёхмерного пространства. Евклидово сопряжение линейных операторов, ортогональная диагонализация самосопряжённого оператора, канонический вид антисамосопряжённого оператора. Сингулярные направления и сингулярные числа линейного отображения между евклидовыми пространствами, SVD-разложение и полярное разложение. Конспект: PDF 144kb обновлён 14.01.2021. Видеозаписи:
лекция 20.01.2021,
лекция 26.01.2021,
лекция 2.02.2021.
- Тема 12. Выпуклые фигуры, замкнутая выпуклая фигура является пересечением опорных полупространств. Грани и крайние точки, ограниченная замкнутая выпуклая фигура является выпуклой оболочкой своих крайних точек. Цилиндры. Перечисление граней выпуклого многогранника и выпуклого многогранного конуса. Лемма Фаркаша, теорема Минковского–Вейля и разложение Моцкина. Проективный, асимптотический и коассимптотический конусы выпуклого многогранника. Конспект: PDF 222kb обновлён 21.02.2021. Видеозаписи: лекция 3.02.2021,
лекция 10.02.2021,
лекция 17.02.2021.
- Тема 13. Пространство с билинейной формой: матрицы Грама, левая и правая корреляции, ядра, ранг и коранг, изометрические линейные отображения. Невырожденные формы: линейный изоморфизм между пространством билинейных форм и пространством линейных операторов, две невырожденные формы над алгебоаически замкнутым полем нулевой характеристики изометрически изоморфны если и только если их канонические операторы подобны, группа изометрий, левый и правый двойственные базисы, левый и правый ортогоналы и ортогональные проекции для подпространства, куда билинейная форма ограничивается невырождено. Симметричные и кососимметричные формы: корреляции и ядро, ограничение на дополнение к ядру и спуск на фактор по ядру невырождены, теорема Лагранжа о диагонализации симметричной билинейной формы и теорема Дарбу о нормальном виде кососимметричной билинейной формы. Примеры: евклидовы, гиперболические и симплектические формы, группа изометрий гиперболической плоскости. Конспект: PDF 123kb обновлён 18.03.2021. Видеозаписи: лекция 2.03.2021, лекция 3.03.2021.
- Тема 14. Пространства со скалярным произведением: лемма Витта, ортогональная группа порождается отражениями и транзитивно действует на изотропных и гиперболических подпространствах заданной размерности, разложение в ортогональную прямую сумму гиперболического и анизотропного подпространств, ортогональная диагонализация самосопряжённых операторов. Квадратичные формы: поляризация, приведение к сумме квадратов и к сумме гиперболической и анизотропной форм. Вещественные квадратичные формы: диагонализация в евклидово ортонормальном базисе и отыскание сигнатуры. Квадратичные формы над конечными полями характеристики > 2. Конспект: PDF 158kb обновлён 18.03.2021. Видеозаписи: лекция 9.03.2021, лекция 16.03.2021.
- Тема 15. Невырожденные кососимметричные формы: каждое изотропное подпространство достраивается до симплектического и содержится в лагранжевом, описание лагранжевых подпространств, дополнительных к заданному. Грассмановы квадратичные формы: приведение к нормальному виду Дарбу и критерий разложимости на два линейных множителя. Пфаффиан кососимметрической матрицы. Симплектическая группа транзитивно действует на изотропных и симплектических подпространствах заданной размерности, вложение GLn в Sp2n, симплектический оператор имеет определитель 1 и возвратный характеристический многочлен. Конспект: PDF 92kb обновлён 18.03.2021. Видеозаписи: лекция 17.03.2021, лекция 30.03.2021.
- Тема 16. Проективные пространства: аффинные карты, локальные аффинные и глобальные однородные координаты, топологические модели комплексных и вещественных проективных пространств малой размерности. Проективные подпространства: размерность пересечения, дополнительные подпространства и проекции, проективная двойственность. Проективные квадрики: касательное пространство, поляра точки, простые и особые точки. Классификация коник, рациональная параметризация непустой гладкой коники. Однородные многочлены и проективные гиперповерхности, проективное замыкание аффинной гиперповерхности, пространства и линейные системы гиперповерхностей, пример: наборы неупорядоченных точек на прямой и рациональные нормальные кривые. Конспект: PDF 424kb обновлён 5.04.2021. Видеозаписи: лекция 31.03.2021, лекция 6.04.2021.
- Тема 17. Проективное преобразование Pn ↠ Pn однозначно задаётся действием на n+2 точки, пример: эпиморфизм S4 ↠ S3. Рациональная биекция P1 ↠ P1 является гомографией, разложение гомографии в композицию перспектив, перекрёстная ось. Задание гомографии коникой, трассировка коники линейкой, теорема Паскаля. Группа дробно линейных автоморфизмов прямой, двойное отношение, специальные четвёрки точек, гармоническое отношение, гармонические четвёрки прямых в четырёхвершиннике. Двойное отношение и гомографии на гладкой конике, инволюции, построение неподвижных точек, поляр и касательных. Конспект: PDF 286kb обновлён 5.04.2021. Видеозаписи: лекция 8.04.2021 лекция 13.04.2021.
- Тема 18. Гладкие проективные квадрики: полярное преобразование, сопряжённость точек и гиперплоскостей, двойственная квадрика, примеры: задание гомографии семейством касательных к конике, вписано-описанные треугольники, гармонически описанные квадрики, гиперплоскости в пространстве квадрик. Проективные подпространства, лежащие на гладкой квадрике, планарность, гиперплоские сечения гладкой квадрики. Проективная конгруэнтность квадрик, классификация комплексных и вещественных проективных квадрик. Квадратичные поверхности, квадрика Сегре. Квадрика Плюккера и геометрия прямых в P3. Конспект: PDF 223kb обновлён 23.04.2021. Видеозаписи: лекция 20.04.2021, лекция 13.05.2021, лекция 18.05.2021.
- Тема 18 (продолжение). Пучки квадрик: базисное множество, характеристические числа, кратность характеристического числа не меньше коранга соответствующей особой квадрики. Примеры: пучки коник, построение Штейнера, инволюция Дезарга, коника центров и коника одиннадцати точек. Касательное пространство к проективной гиперповерхности, гладкие точки и касательные пространства гиперповерхности особых квадрик. Одновременная диагонализация всех квадрик регулярного пучка, критерий проективной конгруэнтности регулярных пучков. Простые пучки, критерий простоты пучка. Конспект: PDF 286kb обновлён 15.04.2021. Видеозаписи: лекция 22.04.2021.
- Тема 19. Вложение R2 в P2=P(C3), конформная структура на вещественной плоскости, углы и абсолютные направления. Эллипсы, гиперболы и параболы: центр, вершина, асимптоты и главные оси, фокусы и директрисы. Конформная геометрия парабол и центральных коник: директор, софокусные семейства, фокальные свойства геометрической оптики, гипербола Аполлония и перпендикуляры к конике, опущенные из данной точки. Конспект: PDF 403kb обновлён 23.04.2021. Видеозаписи: лекция 27.04.2021, лекция 11.05.2021.
- Тема 20. Сравнение аффинной и проективной линейных групп. Классификация аффинных квадрик над алгебраически замкнутым полем и над полем R: гладкие центральные квадрики, параболоиды, простые конусы и цилиндры. Пример: список непустых вещественных аффинных «кривых» и «поверхностей» второй степени. Топология вещественных квадрик. Классификация квадрик в евклидовом пространстве, примеры: теоремы типа Аполлония, ортооптическая сфера центральной квадрики и директриса параболоида. Конспект: PDF 3.3 Mb обновлён 14.05.2021. Видеозаписи: лекция 25.05.2021, лекция 27.05.2021.
- Тема 21. Сферы: степень точки, гиперплоские сечения, радикальная гиперплоскость. Сферы как комплексные проективные квадрики: пространство сфер, пучки сфер, квадратичная форма r2, ортогональность и отражения в пространстве сфер (инверсии). Инверсии евклидова пространства относительно сферы, конформность инверсий. Стереографические проекции и инверсии на сферах. Группы Мёбиуса PO(n,1)=M(Sn-1)=M(Rn-1). Конспект: PDF 458 kb обновлён 8.06.2021. Видеозаписи: лекция 1.06.2021, лекция 8.06.2021, лекция 10.06.2021.
Задачи для самостоятельного решения можно сдавать в течение всего семестра вплоть до начала экзаменационной сессии. Я рекомендую сдавать 3-5 задач каждую неделю. Решения задач необходимо записывать. Сдавать задачи можно только преподавателю, который ведёт семинары по геометрии в Вашей группе, и его специально авторизованным для приёма этих задач помощникам, контакты которых он Вам укажет. Порядок сдачи задач также устанавливается преподавателем, ведущим семинары в Вашей группе. Задачи для самостоятельного решения делятся на «обязательные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не обязательно для получения максимальной итоговой оценки. Обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи — дополнительные. В первом семестре учитываются листки с 1-го по 6-й включительно, во втором семестре учитываются листки с 7-го включительно.
В первом семестре были три контрольные работы:
Во втором семестре планируются 4 контрольные работы: «Евклидовы пространства», «Билинейные и квадратичные формы», «Гомографии и коники», «Евклидовы квадрики и сферы» ориентировочно в начале февраля, в середине марта, в конце апреля и в начале июня.
по материалам первой четверти проходил для групп 202, 203 в среду 21.10 в 11:00 в ауд. 110 и 318, для групп 201, 204 — в пятницу 23.10 в 11:00 в ауд. 208, 210, 211, 212, для студентов-заочников — в zoom.
Каждый билет состоит из двух теоретических вопросов, ответы на которые оцениваются из 30 баллов каждый, и одной задачи, решение которой оценивается из 40 баллов. Отвечать на вопросы можно в любом порядке. Время на подготовку каждого из ответов 10 минут. Через 10 минут после получения билета или после окончания ответа на очередной вопрос экзаменатор имеет право потребовать ответить на один из оставшихся вопросов (на выбор студента). Во время ответа экзаменатор имеет право попросить дать точное определение любого используемого понятия.
Программа теоретической части [обновлено 12.10.2020].
Примеры возможных задач [обновлено 12.10.2020].
В первом семестре
На итоговую отметку за первый семестр влияют: оценка C за коллоквиум, оценка S за работу на семинаре, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле:
100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(400,С+S+L+K+E)/40
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно иметь по 80 баллов в каждом из пяти видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 400 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
Итоговый письменный экзамен за первый семестр был 23 декабря. Программа экзамена. С вопросами о продлении сессии по болезни и о пересдаче экзамена следует обращаться в учебную часть.
Во втором семестре
на итоговую отметку влияют: оценка S за работу на семинаре, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач точно так же, как и в первом семестре. Во втором семестре вклад в величину L вносят листки начиная с 7-го включительно, а в величину K — контрольные начиная c 4-й включительно. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(300,S+L+K+E)/30
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно иметь по 75 баллов в каждом из четырёх видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 300 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
В связи с внезапным усилением короновирусных опасений итоговый письменный экзамен по геометрии за второй семестр пройдёт 24 июня с 10:00 до 14:00 заочно на сайте edu.hse.ru по тому же регламенту, что и заочные контрольные работы. Прошу всех заранее убедиться в наличии доступа к этому ресурсу и при обнаружении проблем срочно устранить их в службе техподдержки этого сайта. Также настоятельно рекомендую всем тщательно подготовиться к экзамену (программа экзамена).
Проверка работ завершится в понедельник 28 июня, в 1400. Предъявить претензии по проверке экзамена и итоговой оценке за курс можно до 2100 понедельника, 28 июня. Для этого надо написать электронное письмо преподавателю, ведущему семинары в Вашей группе, с чётким описанием претензий и вопросов, отправив копию А. Л. Городенцеву. Результаты рассмотрения претензий придут по электронной почте до 1200 вторника, 29 июня. Окончательная фиксация не подлежащих дальнейшему обжалованию оценок (заполнение экзаменационных ведомостей) произойдёт во вторник 29 в 1300. После этого все претензии и/или просьбы о продлении сессии по уважительной причине следует направлять в учебную часть факультета.