Помимо моих собственных записок, которые по мере готовности будут появляться ниже, я рекомендую следующие учебники:
- Э.Б.Винберг. Курс алгебры (есть в колхозе)
- А.Л.Городенцев. Алгебра – 1 (PDF 4.5Mb, версия от 05.2011).
- И.Р.Шафаревич. Основные понятия алгебры. ВИНИТИ, Совр. Пробл. Математ. Фундам. Напр., Алгебра-1 (есть в колхозе)
Видеозаписи лекций на YouTube: 1-й семестр, 2-й семестр.
Все имеющиеся на сегодняшний день конспекты лекций одним файлом:
PDF 1.8 Мb обновлён 17.03.2023.
- Материал для справок:
Множества, отображения, слои отображений, эквивалентности и классы эквивалентности. Композиции отображений, группы преобразований. Частично упорядоченные множества, вполне упорядоченные множества, лемма Цорна.
Конспект:
PDF 155kb обновлён 15.03.2023.
- Тема 1. Поля, коммутативные кольца, абелевы группы. Кольцо целых чисел: делимость, НОД, НОК и взаимная простота, алгоритм Евклида–Гаусса. Кольца и поля вычетов: делители нуля, нильпотенты, обратимые вычеты, теорема Эйлера, малая теорема Ферма. Свойства гомоморфизмов, примеры: квадраты в поле Fp, простое подполе, характеристика, гомоморфизм Фробениуса. Прямые произведения абелевых групп и колец. Китайская теорема об остатках.
Конспект:
PDF 164kb обновлён 26.09.2022.
Видеозаписи:
лекция 02.09.2022 не записалась,
лекция 08.09.2022,
лекция 09.09.2022.
- Тема 2. Ряды и многочлены: алгебраические операции и дифференциальное исчисление. Делимость и китайская теорема об остатках в кольце многочленов. Корни и кратные корни многочленов, интерполяция. Кольца вычетов K[x]/(f) и расширения полей. Поле комплексных чисел. Конечные поля.
Конспект:
PDF 212kb обновлён 6.10.2022.
Видеозаписи:
лекция 15.09.2022,
лекция 22.09.2022,
лекция 23.09.2022,
лекция 29.09.2022.
- Тема 3. Кольца и поля частных, примеры: ряды Лорана, рациональные функции. Разложение рациональной функции на простейшие дроби и в степенной ряд, приложение: решение линейных рекуррентных уравнений. Экспонента, логарифм, бином, пример: числа Каталана. Действие Q[[d/dx]] на Q[x], суммирование степеней и числа Бернулли. Ряды Пюизо, алгебраическая замкнутость поля дробно степенных рядов над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль.
Конспект:
PDF 155kb обновлён 21.10.2022.
Видеозаписи:
лекция 6.10.2022,
лекция 7.10.2022,
лекция 13.10.2022,
лекция 20.10.2022.
- Тема 4. Идеалы и фактор кольца, примеры: простые и максимальные идеалы. Нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе идеала, примеры: системы полиномиальных уравнений и конечно порождённые коммутативные алгебры. Области главных идеалов, примеры: евклидовы кольца, гауссовы числа. Факториальные кольца, простые и неприводимые элементы, факториальность области главных идеалов. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом, содержание многочлена и лемма Гаусса. Разложение на множители многочленов с целыми коэффициентами. Конспект:
PDF 144 Kb обновлён 7.11.2020.
Видеозаписи:
лекция 21.10.2022,
лекция 3.11.2022,
лекция 10.11.2022.
- Тема 5. Модули над коммутативными кольцами: прямые суммы модулей и подмодулей, гомоморфизмы и модули гомоморфизмов, фактор модули, ранг свободного модуля, образующие и соотношения. Ассоциативные алгебры над коммутативными кольцами, алгебра эндоморфизмов модуля, алгебра матриц, обратимые элементы, пример: обращение унитреугольной матрицы и теорема об элементарных симметрических функциях. Умножение матриц, матрицы переходов, матрицы гомоморфизмов, модуль гомоморфизмов между модулями, заданными образующими и соотношениями, пример: Hom(Z/(n),Z/(m)).
Конспект:
PDF 182 Kb обновлён 15.03.2023.
Видеозаписи:
лекция 11.11.2022,
лекция 17.11.2022.
- Тема 6. Метод Гаусса в области главных идеалов: инвариантные множители и нормальная форма Смита прямоугольной матрицы, отыскание обратных матриц, решение систем линейных уравнений. Теорема о взаимном базисе и инвариантные множители подмодуля в свободном модуле конечного ранга. Теорема об элементарных делителях, классификация конечно порождённых модулей над областью главных идеалов. Конспект:
PDF 139 Kb обновлён 25.11.2022.
Видеозаписи:
лекция 24.11.2022,
лекция 25.11.2022,
лекция 1.12.2022.
- Тема 7.
Классификация конечно порождённых абелевых групп, разложимость, простота и полупростота, циклические группы. Подрешётки в Zm: соизмеримость, отщепимость прямым слагаемым, порядок элемента в факторе. Общие свойства полупростых модулей над ассоциативным кольцом.
Конспект:
PDF 90 Kb обновлён 15.03.2023.
Видеозаписи:
лекция 8.12.2022.
- Тема 8.
Алгебра грассмановых многочленов и внешняя алгебра свободного модуля. Знак и длина перестановки, знак тасующей перестановки. Линейная замена переменных в грассмановом многочлене, определитель и миноры, внешняя степень матрицы, мультипликативность внешних степеней. Соотношения Лапласа (разложение определителя по набору строк/столбцов), присоединённая матрица. Матрицы над кольцом многочленов = многочлены с коэффициентами в алгебре матриц, тождество Гамильтона–Кэли. Число элементов в факторе решётки по подрешётке равно объёму фундаментального параллелепипеда, выражение инвариантных множителей матрицы через её миноры.
Конспект:
PDF 142 Kb обновлён 19.12.2022.
Видеозаписи:
лекция 9.12.2022,
лекция 15.12.2022.
- Тема 9.
Классификация конечномерных линейных операторов над произвольным полем, элементарные делители, неприводимые и неразложимые операторы, характеристический и минимальный многочлены, жорданова и фробениусова нормальные формы. Нильпотентные и полупростые операторы. Циклические векторы. Собственные подпространства и собственные векторы, диагонализуемые операторы. Корневое разложение и вычисление аналитических функций от оператора. Коммутирующие операторы. Разложение Жордана.
Конспект:
PDF 194 Kb обновлён 25.1.2023.
Видеозаписи:
лекция 12.01.2023,
лекция 19.01.2023,
лекция 20.01.2023
лекция 26.01.2023.
- Тема 10.
Группы, подгруппы, циклические группы и порядки элементов. Цикловой тип перестановки и классы сопряжённости в симметрической группе. Группы фигур. Свойства и примеры гомоморфизмов групп. Действие группы на множестве, длина орбиты и число орбит. Регулярные и присоединённое действия группы на себе. Смежные классы и индексы подгрупп. Классы сопряжённости и внутренние автоморфизмы. Нормальные подгруппы и фактор группы. Коммутант, примеры: коммутанты симметрических и линейных групп.
Конспект:
PDF 266 Kb обновлён 13.02.2023.
Видеозаписи:
лекция 2.02.2023,
лекция 3.02.2023,
лекция 10.02.2023.
- Тема 11.
Простые группы, примеры: простота знакопеременных и специальных проективных линейных групп. Композиционные ряды, теорема Жордана–Гёльдера. Полупрямые произведения, примеры: группы диэдров, аффинная линейная группа, голоморф, сплетения. Свойства p-групп, теоремы Силова, пример: группы порядка pq.
Конспект:
PDF 122 Kb обновлён 16.02.2023.
Видеозаписи:
лекция 16.02.2023,
лекция 17.02.2023,
лекция 2.03.2023,
лекция 3.03.2023.
- Тема 12.
Универсальное свойство свободной группы. Задание группы образующими и определяющими соотношениями. Примеры: группа диэдра, группы платоновых тел, симметрическая группа. Порядок Брюа на симметрической группе.
Конспект:
PDF 405 Kb обновлён 17.03.2023.
Видеозаписи:
лекция 9.03.2023,
лекция 16.03.2023.
- Тема 13.
Тензорное произведение модулей над коммутативным кольцом. Полилинейные отображения модулей и универсальное свойство тензорного произведения. Примеры: тензорные произведения абелевых групп и векторных пространств, изоморфизм U*⊗W=Hom(U,W), многообразия Сегре. Канонические изоморфизмы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Тензорные произведения линейных отображений. Образующие и соотношения тензорного произведения модулей, заданных образующими и соотношениями. Тензорное произведение алгебр, пример: тензорное произведение расширений поля.
Конспект:
PDF 126 Kb обновлён 17.03.2023.
Видеозаписи:
лекция 17.03.2023.
Разбираемые на семинарах задачи идут ниже. Все студенты так или иначе должны научиться решать все не помеченные звёздочками задачи семинаров.
- Тема 1. Целые числа и вычеты.
- Тема 2. Многочлены и расширения полей.
- Тема 3. Ряды и дроби.
- Тема 4. Идеалы, фактор кольца и факториальные кольца (обновлено 31.09.2022).
- Тема 5. Модули и матрицы (обновлено 16.11.2022).
- Тема 6. Метод Гаусса.
- Тема 7. Конечно порождённые абелевы группы.
- Тема 8. Определители (обновлено 9.01.2023).
- Тема 9. Пространство с оператором.
- Тема 10. Группы преобразований (обновлено 1.02.2023).
- Тема 11. Абстрактные группы и дальнейшие примеры групп (обновлено 17.02.2023).
- Тема 12. О строении групп (обновлено 16.03.2023).
- Тема 13. Тензорные произведения.
делятся на «обязательные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не обязательно для получения максимальной итоговой оценки. Обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи — дополнительные. Задачи можно сдавать в течение всего семестра вплоть до официального начала предновогодней и летней экзаменационных сессий. Решения задач необходимо записывать. Сдавать задачи можно только преподавателю, который ведёт семинары по алгебре в Вашей группе, и его специально авторизованным для приёма задач помощникам, контакты которых он Вам укажет. Порядок сдачи задач также устанавливается преподавателем, ведущим семинары в Вашей группе. Этот порядок должен обеспечить каждому студенту возможность сдать примерно 3-5 задач в неделю. Важное предупреждение: если количество желающих сдавать задачи будет слишком большим, то сдать больше 3-5 задач в неделю может оказаться невозможно в виду физического отсутствия времени у принимающих задачи. Это нормально, и претензии по этому поводу не рассматриваются. Поэтому я рекомендую сдавать 3-5 задач каждую неделю.
В первом семестре учитывались листки с 1-го по 6-й включительно.
Во втором семестре учитываются листки начиная с 6-го включительно.
В первом семестре были 3 контрольные работы.
Во втором семестре планируются 4 контрольные работы: в начале февраля, в середине марта, в конце апреля и в середине июня.
- Контрольная №4 «Определители и операторы» была с 30 января по 3 февраля на семинарах.
Задачи для подготовки.
- Контрольная №5 «Конечные группы» пройдёт с 20 января по 24 марта на семинарах.
Задачи для подготовки.
по материалам первых трёх модулей пройдёт в сессионную неделю между третьим и четвёртым модулями. Каждый билет будет содержать два теоретических вопроса, ответы на которые оцениваются из 30 баллов каждый, и одну задачу, решение которой оценивается из 40 баллов. Отвечать на вопросы можно в любом порядке. Время на подготовку каждого из ответов 10 минут. Через 10 минут после получения билета или после окончания ответа на очередной вопрос экзаменатор имеет право потребовать ответить на один из оставшихся вопросов (на выбор студента). Во время ответа экзаменатор имеет право попросить дать точное определение любого используемого понятия.
Программа теоретической части [обновлено 6.03.2023].
Примеры возможных задач [обновлено 6.03.2023].
В первом семестре
на итоговую отметку влияют: оценка S за работу на семинарах, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле:
100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(300,S+L+K+E)/30
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно набрать по 75 баллов в каждом из четырёх видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 300 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
Итоговый письменный экзамен за первый семестр был 28 декабря (программа экзамена), показ проверенных работ и урегулирование претензий по оценкам — 29 декабря.
Во втором семестре
на итоговую отметку влияют: оценка C за коллоквиум, оценка S за работу на семинаре, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач точно так же, как и в первом семестре. Во втором семестре вклад в величину L вносят листки начиная с 6-го включительно, а в величину K — контрольные начиная c 4-й включительно. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(400,С+S+L+K+E)/40
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно иметь по 80 баллов в каждом из пяти видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 400 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).