Помимо моих собственных записок, которые по мере готовности будут появляться ниже, я рекомендую следующие учебники:
- М.Берже. Геометрия. Т. 1, 2. М., «Мир», 1974 (есть в колхозе).
- А.Л.Городенцев. Геометрия (PDF 7,1Mb, версия от 11.09.2017).
- А.Л.Городенцев. Алгебра – 1 (PDF 4.5Mb, версия от 05.2011).
- Г.Клеменс. Мозаика теории комплексных кривых. М.: «Мир», 1984 (есть в колхозе).
- Г.С.М.Кокстер. Введение в геометрию. М.: «Наука», 1966 (есть в колхозе).
- Д.Милнор, Д.Хьюзмоллер. Симметрические билинейные формы. М.: «Наука», 1986 (есть в колхозе).
- В.В.Прасолов, В.М.Тихомиров. Геометрия. М., «МЦНМО», 1997 (есть в колхозе).
Материалы первого семестра от А.С.Тихомирова см. здесь.
Все имеющиеся на сегодняшний день лекции
одним файлом: PDF, 8.3 Mb [обновлено 16.06.2019].
- Лекция 1 [обновлено 10.02.2019]. Билинейные формы, матрицы Грама, корреляции, ядра, ранг, коранг, изотропные подпространства. Невырожденные билинейные формы: двойственные базисы, ортогоналы и ортогональные проекции, верхняя граница размерностей изотропных подпространств, группа изометрий, соответствие между билинейными формами и линейными операторами. Симметричные и кососимметричные формы, примеры: гиперболическое и симплектическое пространства, группа изометрий гиперболической плоскости. Диагонализация симметричной формы и нормальная форма Дарбу кососимметрчной формы. Ограничение (косо)симметричной формы на дополнительное к ядру подпространство невырождено.
- Лекция 2 [обновлено 22.01.2019]. Симметричные билинейные формы: ортогональные прямые суммы, разложение пространства в ортогональную прямую сумму гиперболического и анизотропного. Изометрии невырожденной симметричной билинейной формы: лемма Витта, ортогональная группа порождается отражениями и транзитивно действует на изотропных и гиперболических подпространствах заданной размерности. Поляризация квадратичных форм, приведение квадратичной формы к сумме квадратов и к сумме гиперболической и анизотропной. Отыскание сигнатуры вещественных квадратичных форм. Квадратичные формы над полем Fp. Самосопряжённые операторы на пространстве с невырожденной симметричной формой.
- Лекция 3 [обновлено 29.01.2019]. Симплектические пространства и их лагранжевы подпространства, симплектическая группа. Грассмановы многочлены и грассманова алгебра векторного пространства. Примеры использования: соотношения Лапласа, определитель пучка матриц, пфаффиан кососимметрической матрицы. Приведение грассмановой квадратичной формы к нормальному виду Дарбу и критерий разложимости такой формы.
- Лекция 4 [обновлено 19.02.2019]. Проективные пространства, аффинные карты, локальные аффинные и глобальные однородные координаты. Топологическое отступление: комплексная и вещественная проективные прямые, вещественная проективная плоскость, гомеоморфизм между P3(R) и SO3(R), нестягиваемая петля в SO3(R) со стягиваемым квадратом. Проективные подпространства, проективная двойственность, проекции. Квадрики: касательное пространство, поляра точки, простые и особые точки. Пример: классификация коник, рациональная параметризация невырожденной коники. Симметрическая алгебра векторного пространства и проективные многообразия, пространство гиперповерхностей степени d, проективное замыкание аффинной гиперповерхности, линейные системы гиперповерхностей. Пример: d-точечные конфигурации на P1 и кривые Веронезе.
- Лекция 5 [7.03.2019]. Проективное преобразование Pn однозначно задаётся действием на n+2 точки, пример: эпиморфизм S4 ↠ S3. Рациональная биекция является гомографией, разложение гомографии в композицию перспектив, перекрёстная ось. Задание гомографии коникой, трассировка коники линейкой, теорема Паскаля. Группа дробно линейных автоморфизмов прямой, двойное отношение, специальные четвёрки точек, гармоническое отношение, гармонические четвёрки прямых в четырёхвершиннике. Двойное отношение и гомографии на гладкой конике, инволюции, построение неподвижных точек, поляр и касательных.
- Лекция 6 [обновлено 22.04.2019]. Полярное преобразование, сопряжение точек и гиперплоскостей гладкой квадрикой, двойственная квадрика. Примеры: задание гомографии семейством касательных к конике, вписано-описанные треугольники, гармонически описанные квадрики, гиперплоскости в пространстве квадрик. Проективные подпространства, лежащие на гладкой квадрике, планарность, гиперплоские сечения гладкой квадрики. Проективная конгруэнтность квадрик, классификация комплексных и вещественных проективных квадрик. Квадратичные поверхности, квадрика Сегре. Квадрика Плюккера и геометрия прямых в P3.
- Лекция 7 [обновлено 22.04.2019]. Пучки квадрик, базисное множество, характеристические числа, кратность характеристического числа не меньше коранга соответствующей особой квадрики. Примеры: пучки коник, построение Штейнера, инволюция Дезарга, коника центров и коника одиннадцати точек. Касательное пространство к проективной гиперповерхности, гладкие точки и касательные пространства гиперповерхности особых квадрик. Одновременная диагонализация всех квадрик регулярного пучка, критерий проективной конгруэнтности регулярных пучков. Простые пучки, критерий простоты пучка.
- Лекция 8 [обновлено 22.04.2019]. Вложение R2 в P2=P(C3), конформная структура на вещественной плоскости, углы и абсолютные направления. Эллипсы, гиперболы и параболы, центр и главные оси, фокусы и директрисы. Конформная геометрия парабол и центральных коник: директор, софокусные семейства, фокальные свойства геометрической оптики, гипербола Аполлония и перпендикуляры, которые можно опустить на конику из данной точки.
- Лекция 9 [обновлено 22.04.2019]. Сравнение аффинной и проективной линейных групп. Классификация аффинных квадрик над алгебраически замкнутым полем и над полем R: гладкие центральные квадрики, параболоиды, простые конусы и цилиндры. Пример: список непустых вещественных аффинных «кривых» и «поверхностей» второй степени. Топология вещественных квадрик. Классификация квадрик в вещественном евклидовом пространстве, примеры: теоремы типа Аполлония, ортооптическая сфера центральной квадрики и директриса параболоида.
- Лекция 10 [обновлено 1.05.2019]. Разложение линейного отображения между евклидовыми пространствами в композицию ортогональной проекции на ортогональное дополнение к ядру, растяжения с положительными коэффициентами во взаимно перпендикулярных направлениях и изометрического изоморфизма на образ. Полярное разложение линейного автоморфизма евклидова пространства. SVD-разложение вещественной матрицы. Инвариантные углы между подпространствами. Алгебраическое добавление: вычисление функций от операторов, разложение пространства в прямую сумму инвариантных подпространств по разложению аннулирующего многочлена на взаимно простые множители, критерий диагонализуемости, свойства перестановочных операторов.
- Лекция 11 [обновлено 1.05.2019]. Центр тяжести и выпуклые барицнтрические комбинации конечных наборов точек. Отделение выпуклого открытого множества от непересекающегося с ним аффинного пространства, существование опорных полупространств у выпуклых фигур. Грани и крайние точки, каждое ограниченное выпуклое замкнутое множество является выпуклой оболочкой своих крайних точек. Цилиндры и призмы. Перечисление граней выпуклого многогранника и выпуклого многогранного конуса. Лемма Фаркаша, теорема Минковского–Вейля и разложение Моцкина. Проективный и асимптотический конусы выпуклого многогранника, двойственные конусы и двойственные многогранники.
- Лекция 12 [обновлено 24.05.2019]. Группы, порождённые отражениями: камеры Вейля, простые отражения, приведённые слова. Образующие и соотношения группы Кокстера, примеры: диэдральные группы, группы платоновых тел, симметрическая группа. Граф Кокстера, перечисление связных графов Кокстера (без доказательства).
- Лекция 13 [обновлено 13.06.2019]. Сферы, пространство сфер, пучки сфер. Степень точки и радикальная гиперплоскость. Инверсия евклидова пространства относительно сферы: действие на сферы и гиперплоскости, сохранение углов. Инверсия сферы с центром во внешней точке. Стереографическая проекция отождествляет мёбиусову группу евклидова пространства с мёбиусовой группой сферы, и обе эти группы изоморфны проективизации ортогональной группы сигнатуры (n,1).
- Лекция 14 [обновлено 13.06.2019]. Проективизация вещественного пространства со скалярным произведением, касательные векторы, геодезические, геодезическое расстояние. Эллиптическое пространство, неравенство треугольника, группа изометрий. Медиаторы. Треугольники первого и второго рода. Сферическая форма объёма, площадь сферического треугольника.
- Лекция 15 [обновлено 16.06.2019]. Пространство Лобачевского, неравенство треугольника, группа изометрий, гиперболическая тригонометрия. Общий перпендикуляр и расстояние между прямыми, медиатор, сферы, орициклы. Гиперболическая форма объёма, площадь гиперболического треугольника. Конформные модели пространства Лобачевского.
- Тема 1. Билинейные формы.
- Тема 2. Квадратичные формы.
- Тема 3. Кососимметричные формы и грассмановы многочлены.
- Тема 4. Словарик «Линейная Алгебра – Проективная Геометрия».
- Тема 5. Гомографии и проекции.
- Тема 6. Инволюции, сопряжение, гомографии на конике.
- Тема 7. Пучки коник.
- Тема 8. Евклидовы коники.
- Тема 9. Аффинные квадрики.
- Тема 10. Метрические инварианты квадрик и линейных операторов на евклидовых пространствах.
- Тема 11. Евклидова геометрия (повторение материалов 1-го семестра).
- Тема 12. Сферы и инверсии.
- Тема 13. Сферическая и эллиптическая геометрия.
- Тема 14. Геометрия Лобачевского.
Задачи для самостоятельного решения можно сдавать только преподавателю, который ведёт семинары по геометрии в Вашей группе, и его специально авторизованным для приёма этих задач помощникам, контакты которых он Вам укажет. Порядок сдачи задач также устанавливается преподавателем, ведущим семинары в Вашей группе. Задачи для самостоятельного решения делятся на «обязательные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не обязательно для получения максимальной итоговой оценки. Обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи — дополнительные. Решения задач необходимо записывать.
В течение семестра проводятся 4 контрольные работы. Контрольные №№ 1, 2, 4 состоят из пяти задач, каждая из которых оценвается в 10 баллов, контрольная №3 — из трёх задач, каждая из которых оценивается в 20 баллов. В каждой из контрольных для получения 100%-ного результата достаточно набрать 40 баллов, т.е. решить все задачи кроме одной. Решение всех задач улучшает итоговую оценку, но не обязательно для получения максимальной итоговой оценки. На контрольных разрешается пользоваться «бухгалтерскими» калькуляторами, не имеющими выхода в интернет.
На итоговую отметку влияют: оценка S за работу на семинаре, по 100-бальной шкале, которую поставит Вам преподаватель, ведущий семинары в Вашей группе, по правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле:
100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(300,S+L+K+E)/30
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно иметь по 75 баллов в каждом из чеырёх видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 300 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления.
Итоговый письменный экзамен был во вторник 18 июня в 1100 в аудиториях 108–110.
Официальное объявление итоговых оценок, показ работ и урегулирование претензий были в среду 26 июня в 1600 в ауд. 110.
