Помимо моих собственных записок, которые по мере готовности будут появляться ниже, я рекомендую следующие учебники:
- Э.Б.Винберг. Курс алгебры (есть в колхозе).
- А.Л.Городенцев. Алгебра–1 (PDF 3.5Mb, версия от 1.09.2023).
- А.Л.Городенцев. Алгебра–2 (PDF 2.8Mb, версия от 1.09.2023).
- И.Р.Шафаревич. Основные понятия алгебры. ВИНИТИ, Совр. Пробл. Математ. Фундам. Напр., Алгебра-1 (есть в колхозе).
Все имеющиеся на сегодняшний день конспекты лекций одним файлом:
PDF 802kb обновлён 2.12.2024.
Видеозаписи лекций на YouTube.
- Материал для справок:
Множества, отображения, слои отображений, эквивалентности и классы эквивалентности. Композиции отображений, группы преобразований. Частично упорядоченные множества, вполне упорядоченные множества, лемма Цорна.
PDF 152kb обновлён 10.09.2024.
- Тема 1. Поля, коммутативные кольца, абелевы группы. Кольцо целых чисел: делимость, НОД, НОК и взаимная простота, алгоритм Евклида–Гаусса. Кольца и поля вычетов: делители нуля, нильпотенты, обратимые вычеты, теорема Эйлера, малая теорема Ферма. Свойства гомоморфизмов, примеры: квадраты в поле Fp, простое подполе, характеристика, гомоморфизм Фробениуса. Прямые произведения абелевых групп и колец. Китайская теорема об остатках.
Конспект:
PDF 165kb обновлён 10.09.2024.
Видеозаписи:
лекция 04.09.2024,
лекция 06.09.2024,
лекция 13.09.2024,
лекция 20.09.2024.
- Тема 2. Ряды и многочлены: алгебраические операции и дифференциальное исчисление. Делимость и китайская теорема об остатках в кольце многочленов. Корни и кратные корни многочленов, интерполяция, сепарабельность. Кольца вычетов K[x]/(f) и расширения полей. Поле комплексных чисел. Конечные поля.
Конспект:
PDF 209kb обновлён 20.09.2024.
Видеозаписи:
лекция 27.09.2024,
лекция 04.10.2024,
лекции 11.10.2024 и 18.10.2024, судя по всему, не записались.
- Тема 3. Кольца и поля частных, примеры: ряды Лорана, рациональные функции. Разложение рациональной функции на простейшие дроби и в степенной ряд, приложение: решение линейных рекуррентных уравнений. Экспонента, логарифм, бином, пример: числа Каталана. Действие Q[[d/dx]] на Q[x], суммирование степеней и числа Бернулли.
Конспект:
PDF 135kb обновлён 27.11.2024.
Видеозаписи:
лекция 01.11.2024,
1-я лекция 08.11.2024,
2-я лекция 08.11.2024.
- Тема 4. Идеалы и фактор кольца, примеры: простые и максимальные идеалы. Нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе идеала, примеры: системы полиномиальных уравнений и конечно порождённые коммутативные алгебры. Области главных идеалов, примеры: евклидовы кольца, гауссовы числа. Факториальные кольца, простые и неприводимые элементы, факториальность области главных идеалов. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом, содержание многочлена и лемма Гаусса. Разложение на множители многочленов с целыми коэффициентами.
Конспект:
PDF 144 Kb обновлён 11.11.2024.
Видеозаписи:
лекция 15.11.2024,
две лекции 22.11.2024.
- Тема 5. Модули над коммутативными кольцами: прямые суммы модулей и подмодулей, гомоморфизмы и модули гомоморфизмов, фактор модули, ранг свободного модуля, образующие и соотношения. Ассоциативные алгебры над коммутативными кольцами, алгебра эндоморфизмов модуля, алгебра матриц, обратимые элементы, пример: обращение унитреугольной матрицы и теорема об элементарных симметрических функциях. Матричный формализм: умножение матриц, матрицы переходов, матрицы гомоморфизмов, модуль гомоморфизмов между модулями, заданными образующими и соотношениями, пример: Hom(Z/(n),Z/(m)).
Конспект:
PDF 183 Kb обновлён 27.11.2024.
Видеозаписи:
лекция 29.11.2024,
две лекции 6.12.2024.
- Тема 6. Метод Гаусса в области главных идеалов: инвариантные множители и нормальная форма Смита прямоугольной матрицы, отыскание обратных матриц, решение систем линейных уравнений. Теорема о взаимном базисе и инвариантные множители подмодуля в свободном модуле конечного ранга. Теорема об элементарных делителях, классификация конечно порождённых модулей над областью главных идеалов.
Конспект:
PDF 141 Kb обновлён 2.12.2024.
Разбираемые на семинарах задачи идут ниже. Все студенты так или иначе должны научиться решать все не помеченные звёздочками задачи семинаров.
- Тема 1. Целые числа и вычеты.
- Тема 2. Многочлены и расширения полей.
- Тема 3. Ряды и дроби.
- Тема 4. Идеалы, факторкольца и разложение на множители.
- Тема 5. Модули и матрицы.
- Тема 6. Метод Гаусса.
делятся на «обязательные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не обязательно для получения максимальной итоговой оценки. Обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи — дополнительные. Задачи можно сдавать в течение всего семестра вплоть до официального начала предновогодней и летней экзаменационных сессий. Решения задач необходимо записывать. Сдавать задачи можно только преподавателю, который ведёт семинары по алгебре в Вашей группе, и его специально авторизованным для приёма задач помощникам, контакты которых он Вам укажет. Порядок сдачи задач также устанавливается преподавателем, ведущим семинары в Вашей группе. Этот порядок должен обеспечить каждому студенту возможность сдать примерно 3-5 задач в неделю. Важное предупреждение: если количество желающих сдавать задачи будет слишком большим, то сдать больше 3-5 задач в неделю может оказаться невозможно в виду физического отсутствия времени у принимающих задачи. Это нормально, и претензии по этому поводу не рассматриваются. Поэтому я рекомендую сдавать 3-5 задач каждую неделю.
В первом семестре учитываются листки с 1-го по 5-й включительно. Листок 6 в первом семестре учитывается как дополнительный: решение задач из 6-го листка положительно скажется на оценке за 1-й семестр, но он не является обязательным в первом семестре.
Во втором семестре учитываются листки начиная с 6-го включительно и 6-й листок учитывается во 2-м семестре как обязательный.
проводятся либо в сессию, либо по субботам одновременно у всего курса в специально выделенное
вне обычной учебной сетки время. В первом семестре планируются 3 контрольные работы:
- Контрольная №1 «Целые числа, многочлены и вычеты» была в субботу 12 октября.
Задачи для подготовки (обновлено 9.10.2024).
- Контрольная №2 «Многочлены, дроби и ряды» была в субботу 16 ноября.
Задачи для подготовки.
- Контрольная №3 «Многочлены и матрицы» пройдёт в пятницу 20 декабря с 1100 до 1230
для студентов с фамилиями от Аб... до Ло... в ауд.109,
для студентов с фамилиями от Лу... до Ящ... в ауд.110.
Задачи для подготовки.
по материалам первых трёх четвертей состоится во втором семестре в весенюю сессию между третьей и четвёртой четвертью.
Каждый билет будет содержать два теоретических вопроса, ответы на которые оцениваются из 30 баллов каждый, и одну задачу, решение которой оценивается из 40 баллов. Отвечать на вопросы можно в любом порядке. Время на подготовку каждого из ответов 10 минут. Через 10 минут после получения билета или после окончания ответа на очередной вопрос экзаменатор имеет право потребовать ответить на один из оставшихся вопросов (на выбор студента). Во время ответа экзаменатор имеет право попросить дать точное определение любого используемого понятия и точную формулировку любого используемого факта.
В первом семестре на итоговую отметку влияют: оценка S за работу на семинарах, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле:
100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(300,S+L+K+E)/30
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно набрать по 75 баллов в каждом из четырёх видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 300 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
Итоговый письменный экзамен за первый семестр (программа экзамена) состоится в субботу 21 декабря с 1100 до 1500 для студентов с фамилиями от Аб... до Ло... в ауд.109, для студентов с фамилиями от Лу... до Ящ... в ауд.110. Продолжительность экзамена 4 часа, для получения 100% потребуется решить 5 задач из 7, максимальный результат за экзамен 140%. Экзамен не является блокирующим, и если Вас устраивает Ваша текущая оценка, то на него можно не приходить.
Объявление итоговых оценок, показ проверенных экзаменационных работ и урегулирование претензий будут в четверг 26 декабря в 1100 в ауд. 215. Примерно час спустя окончательные итоговые оценки будут выставлены в официальную экзаменационную ведомость. Все дальнейшие претензии, а также просьбы о продлении сессии, вопросы по поводу организации переэкзаменовок и т.п. надлежит направлять в учебную часть.