На этой странице публикуются (по мере готовности) учебные материалы к обязательному курсу алгебры за четвёртый семестр, который я читал в НМУ весной 2007 года. Помимо настоящих записок мы рекомендуем в качестве руководства при решении задач и для подготовки к экзамену книги:
Э.Б.Винберг. "Курс Алгебры.";
М.Атья, И.Макдональд "Введение в коммутативную алгебру.";
С.Ленг. "Алгебра.";
Лекция 1.
Целые расширения колец. Лемма Гаусса. Конечнопорождённая алгебра над полем является полем только когда она конечномерна как векторное пространство. Расширения полей. Базис трансцендентности. Теорема Гильберта о нулях. Нётеровы кольца. Нётеровость конечно порождённых алгебр над полем. Системы результантов. Базисы Грёбнера.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 2.
Аффинный алгебро-геометрический словарик (антиэквивалентность категории аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем k и категории конечно порождённых приведённых k-алгебр). Максимальные спектры и геометрические схемы. Топология Зарисского. Произведение аффинных многообразий. Замкнутые вложения и доминантные морфизмы. Геометрические свойства конечных морфизмов.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 3.
Алгебраические многообразия. Локальные регулярные функции. Отделимость. Регулярный морфизм из проективного многообразия в отделимое замкнут, а в аффинное -- постоянен. Проекция проективного многообразия из не лежащей на нём точки на любую гиперплоскость конечна. Размерность. Полунепрерывность размерности слоёв регулярного морфизма.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 4.
Рабочий пример: прямые на поверхностях. 27 прямых на гладкой кубической поверхности.
(GZIP'ed PostScript).
Задания делятся на "обязятельные", составляющие программу зачёта по алгебре, и "дополнительные", решение которых почётно, но никак не влияет на получение зачёта. К дополнительным задачам, по определению, относятся все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами.
- Задание 1:
коммутативные кольца, идеалы, нётеровость, аффинные многообразия,
топология Зарисского;
- Задание 2:
целые расширения колец, свойства целых элементов, лемма Гаусса,
лемма о подъёме;
- Задание 3:
аффинный алгебро-геометричекий словарик;
- Задание 4:
применение теорем о размерностях: 27 прямых на кубической поверхности
и т.п.
- Задание 5:
Расширеня полей, нормальные расширения, сепарабельность, примитивные элементы.
- Задание 6:
Теория Галуа, вычисление групп Галуа, разрешимость в радикалах и квадратных ралдикалах, кубические уравнения.
Для зачтения курса Алгебра - 4 необходимо и достаточно сдать зачет и экзамен. Их можно сдавать независимо друг от друга, однако официальная отметка об успешной сдаче курса "Алгебра - 4" появится в зачётке только после того, как будут сданы и зачет и экзаен. Для сдачи зачета необходимо заранее письменно решить около 70% не отмеченных звёздочкой задач в каждом листочке с целым номером из списка задач, предлагавшихся на упражнениях, а затем обсудить эти решения с преподавателем. Экзамен состоит в письменном решении задач, требующих свободного владения материалом всего курса, и проводится дважды: в конце семестра и в начале следующего семестра. Обе попытки равноправны, и студенты могут воспользоваться любой из них (использовавшим обе попытки в качестве окончательной отметки ставится максимальная из двух полученных).
