![]() |
на мою стартовую страницу
на стартовую страницу лаборатории
Учебные материалы к годовому курсу «Алгебра - 1»
Содержание:
|
Тема 1. Необходимые предварительные сведения и терминология, относящиеся к множествам и отображениям. Разбиения и факторизация. Мультиномиальные коэффициенты, диаграммы Юнга и прочая комбинаторика. Частичный порядок. Лемма Цорна. Конспект: PDF 139 Kb обновлён 2.09.2020. Видеозапись: лекция 10.09 (снимок доски).
Тема 2. Определения и терминология, относящиеся к полям, коммутативным кольцам и абелевым группам. Простейшие свойства гомоморфизмов. Прямые произведения абелевых групп и колец. Кольца и поля вычетов. Китайская теорема об остатках, нод и взаимная простота в кольце целых чисел. Простое подполе, характеристика, гомоморфизм Фробениуса. Конспект: PDF 141 Kb обновлён 2.09.2020. Видеозаписи: лекция 17.09 (снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 24.09 (снимки доски: первая половина, вторая половина).
Тема 3. Многочлены и формальные степенные ряды. Делимость и китайская теорема об остатках в кольце многочленов. Корни многочленов. Кольца вычетов K[x]/(f) и алгебраические расширения полей. Поле комплексных чисел. Конечные поля. Квадратичные вычеты. Конспект: PDF 193 Kb обновлён 24.09.2020. Видеозаписи: лекция 1.10 (снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 8.10 (снимки доски: первая половина, вторая половина)
Тема 4. Кольца частных, поле рядов Лорана, поле рациональных функций, разложение рациональных функций в сумму простейших дробей и в степенной ряд. Решение линейных рекуррентных уравнений. Экспонента, логарифм, бином (с произвольным показателем). Ряд Тодда и числа Бернулли, суммирование степеней. Конспект: PDF 139 Kb обновлён 25.10.2020. Видеозапись: лекция 15.10 (снимки доски: первая половина, вторая половина).
Тема 5. Идеалы и фактор кольца. Нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе идеала. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца. Факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом. Разложение на множители многочленов с целыми коэффициентами. Конспект: PDF 138 Kb обновлён 25.10.2020. Видеозаписи: лекция 22.10 (снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 29.10 (снимки доски: первая половина, вторая половина).
Тема 6. Модули над коммутативным кольцом: подмодули, фактор модули, факторы M/IM, где I — идеал кольца, прямые суммы и прямые произведения, суммы и пересечения подмодулей. Гомоморфизмы модулей. Образующие и линейные соотношения. Базисы векторных пространств, продолжение линейных отображений, теоремы о размерностях сумм, пересечений, факторов и слоёв линейных отображений в конечномерных векторных пространствах. Ранг свободного модуля. Подмодуль свободного модуля конечного ранга над кольцом главных идеалов свободен. Конспект: PDF 151 Kb обновлён 15.11.2020. Видеозаписи: лекция 5.11 (снимки доски: первая половина, вторая половина).
Тема 7. Сложение и умножение матриц. Матрицы перехода межлу наборами векторов. Матрицы линейных отображений. Обратимые матрицы. Изменение координат векторов и матриц отображений при замене базисов. Ранг матрицы над полем. Ассоциативные алгебры над полем, алгебра матриц. Алгебраические, обратимые и нильпотентные элементы. Некоммутативные кольца и матрицы над некоммутативными кольцами, обращение верхней унитреугольной матрицы. Конспект: PDF 121 Kb обновлён 16.11.2020. Видеозаписи: лекция 12.11 (снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 19.11 (снимки доски: первая половина, вторая половина).
Тема 8. Полилинейные кососимметричные формы, пример: формы объёма на векторном пространстве. Определитель квадратной матрицы, свойства определителей. Определитель линейного эндоморфизма, мультипликативность определителя. Правила Крамера для решения невырожденных систем из n линейных уравнений на n неизвестных и n линейных однородных уравнений на n+1 неизвестных. Присоединённая матрица, формула для обратной матрицы, разложение определителя по строке или столбцу. Матрицы над кольцом многочленов = многочлены с коэффициентами в алгебре матриц, тождество Гамильтона–Кэли. Грассмановы многочлены и грассманова алгебра векторного пространства, соотношения Лапласа (разложение определителя по набору строк), определитель пучка матриц. Конспект: PDF 157 Kb обновлён 29.11.2020. Видеозаписи: лекция 26.11 (снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 3.12 (снимки доски: первая половина, вторая половина).
Тема 9. Метод Гаусса над кольцом главных идеалов, диагонализация прямоугольной матрицы элементарными преобразованиями строк и столбцов. Инвариантные множители и взаимный базис подмодуля в свободном модуле. Пример: число элементов в факторе решётки по подрешётке. Элементарные делители. Теорема о строении конечно порождённого модуля над кольцом главных идеалов. Пример: строение конечнопорождённых абелевых групп. Конспект: PDF 107 Kb обновлён 4.1.2021. Видеозаписи: лекция 10.12 (снимки доски: первая половина, вторая половина).
Тема 10. Классификация пространств с оператором над произвольным полем, элементарные делители. Характеристический и минимальный многочлены. Пример: жорданова нормальная форма оператора над замкнутым полем. Нильпотентные и полупростые операторы. Циклические векторы. Собственные подпространства, собственные векторы и собственные числа, диагонализуемые операторы. Разложение пространства в сумму инвариантных подпространств по разложению аннулирующего оператор многочлена на множители. Корневое разложение и вычисление аналитических функций от оператора при помощи полиномиальной интерполяции струй функции в собственных числах оператора. Разложение Жордана над алгебраически замкнутым полем. Конспект: PDF 167 Kb обновлён 3.1.2021. Видеозаписи: лекция 17.12 (снимки доски: первая половина, вторая половина).
min(150,L+E)/30
Таким образом, для получения максимальной оценки 5 достаточно решить 75% задач из листков и 75% экзаменационных задач или каким-то другим способом набрать L+E=150. При наборе меньшей суммы L+E итоговая оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
Каждый экзамен состоит из двух независимых письменных работ. Первая проводится в конце текущего семестра, вторая — в начале следующего. Обе работы равноправны и можно написать любую из них или обе сразу. В последнем случае в качестве E берётся наибольший из двух результатов.
Программа экзамена за первый семестр. Первый экзамен за первый семестр проходил 20 декабря c 11:00 до 15:00.