на мою стартовую страницу
на стартовую страницу лаборатории

 

 

  Учебные материалы к годовому курсу «Алгебра - 1»
1-й курс НМУ, 2020/21 уч.г.

Содержание:
просмотр своих результатов
программа курса (PDF, 97 Kb),
учебники
лекции
задачи
экзамены и оценки

Учебники

Помимо записок лекций, которые мало-помалу будут пояляться ниже, для подготовки к экзаменам и при решении задач я рекомендую учебники:
  1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
  2. А.Л.Городенцев. Алгебра. Учебник для студентов-математиков. Часть I. «МЦ НМО», 2013 (версия от 05.2011 есть в виде 3.7Mb PS.GZ или 4.5Mb PDF).
  3. И.Р.Шафаревич. Основные понятия алгебры. ВИНИТИ, Совр. Пробл. Математ. Фундам. Напр., Алгебра-1 (есть в колхозе)

Лекции

Лекции происходят по четвергам с 17:30 до 19:10 в аудитории 401. Записи второго семестра выкладываются сюда, а записи первого семестра лежат тут. Все доступные на сегодняшний день конспекты лекций можно скачать одним файлом: PDF 1.9 Мb обновлён 14.05.2021.

Тема 1. Необходимые предварительные сведения и терминология, относящиеся к множествам и отображениям. Разбиения и факторизация. Мультиномиальные коэффициенты, диаграммы Юнга и прочая комбинаторика. Частичный порядок. Лемма Цорна. Конспект: PDF 139 Kb обновлён 2.09.2020. Видеозапись: лекция 10.09 (снимок доски).

Тема 2. Определения и терминология, относящиеся к полям, коммутативным кольцам и абелевым группам. Простейшие свойства гомоморфизмов. Прямые произведения абелевых групп и колец. Кольца и поля вычетов. Китайская теорема об остатках, нод и взаимная простота в кольце целых чисел. Простое подполе, характеристика, гомоморфизм Фробениуса. Конспект: PDF 141 Kb обновлён 2.09.2020. Видеозаписи: лекция 17.09 (снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 24.09 (снимки доски: первая половина, вторая половина).

Тема 3. Многочлены и формальные степенные ряды. Делимость и китайская теорема об остатках в кольце многочленов. Корни многочленов. Кольца вычетов K[x]/(f) и алгебраические расширения полей. Поле комплексных чисел. Конечные поля. Квадратичные вычеты. Конспект: PDF 193 Kb обновлён 24.09.2020. Видеозаписи: лекция 1.10 (снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 8.10 (снимки доски: первая половина, вторая половина)

Тема 4. Кольца частных, поле рядов Лорана, поле рациональных функций, разложение рациональных функций в сумму простейших дробей и в степенной ряд. Решение линейных рекуррентных уравнений. Экспонента, логарифм, бином (с произвольным показателем). Ряд Тодда и числа Бернулли, суммирование степеней. Конспект: PDF 139 Kb обновлён 25.10.2020. Видеозапись: лекция 15.10 (снимки доски: первая половина, вторая половина).

Тема 5. Идеалы и фактор кольца. Нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе идеала. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца. Факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом. Разложение на множители многочленов с целыми коэффициентами. Конспект: PDF 138 Kb обновлён 25.10.2020. Видеозаписи: лекция 22.10 (снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 29.10 (снимки доски: первая половина, вторая половина).

Тема 6. Модули над коммутативным кольцом: подмодули, фактор модули, факторы M/IM, где I — идеал кольца, прямые суммы и прямые произведения, суммы и пересечения подмодулей. Гомоморфизмы модулей. Образующие и линейные соотношения. Базисы векторных пространств, продолжение линейных отображений, теоремы о размерностях сумм, пересечений, факторов и слоёв линейных отображений в конечномерных векторных пространствах. Ранг свободного модуля. Подмодуль свободного модуля конечного ранга над кольцом главных идеалов свободен. Конспект: PDF 151 Kb обновлён 15.11.2020. Видеозаписи: лекция 5.11 (снимки доски: первая половина, вторая половина).

Тема 7. Сложение и умножение матриц. Матрицы перехода межлу наборами векторов. Матрицы линейных отображений. Обратимые матрицы. Изменение координат векторов и матриц отображений при замене базисов. Ранг матрицы над полем. Ассоциативные алгебры над полем, алгебра матриц. Алгебраические, обратимые и нильпотентные элементы. Некоммутативные кольца и матрицы над некоммутативными кольцами, обращение верхней унитреугольной матрицы. Конспект: PDF 121 Kb обновлён 16.11.2020. Видеозаписи: лекция 12.11 (снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 19.11 (снимки доски: первая половина, вторая половина).

Тема 8. Полилинейные кососимметричные формы, пример: формы объёма на векторном пространстве. Определитель квадратной матрицы, свойства определителей. Определитель линейного эндоморфизма, мультипликативность определителя. Правила Крамера для решения невырожденных систем из n линейных уравнений на n неизвестных и n линейных однородных уравнений на n+1 неизвестных. Присоединённая матрица, формула для обратной матрицы, разложение определителя по строке или столбцу. Матрицы над кольцом многочленов = многочлены с коэффициентами в алгебре матриц, тождество Гамильтона–Кэли. Грассмановы многочлены и грассманова алгебра векторного пространства, соотношения Лапласа (разложение определителя по набору строк), определитель пучка матриц. Конспект: PDF 157 Kb обновлён 29.11.2020. Видеозаписи: лекция 26.11 (снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 3.12 (снимки доски: первая половина, вторая половина).

Тема 9. Метод Гаусса над кольцом главных идеалов, диагонализация прямоугольной матрицы элементарными преобразованиями строк и столбцов. Инвариантные множители и взаимный базис подмодуля в свободном модуле. Пример: число элементов в факторе решётки по подрешётке. Элементарные делители. Теорема о строении конечно порождённого модуля над кольцом главных идеалов. Пример: строение конечнопорождённых абелевых групп. Конспект: PDF 107 Kb обновлён 4.1.2021. Видеозаписи: лекция 10.12 (снимки доски: первая половина, вторая половина).

Тема 10. Классификация пространств с оператором над произвольным полем, элементарные делители. Характеристический и минимальный многочлены. Пример: жорданова нормальная форма оператора над замкнутым полем. Нильпотентные и полупростые операторы. Циклические векторы. Собственные подпространства, собственные векторы и собственные числа, диагонализуемые операторы. Разложение пространства в сумму инвариантных подпространств по разложению аннулирующего оператор многочлена на множители. Корневое разложение и вычисление аналитических функций от оператора при помощи полиномиальной интерполяции струй функции в собственных числах оператора. Разложение Жордана над алгебраически замкнутым полем. Конспект: PDF 173 Kb обновлён 30.04.2021. Видеозаписи: лекция 17.12 (снимки доски: первая половина, вторая половина), лекция 11.02, лекция 18.02.

Тема 11. Определения и примеры групп и их гомоморфизмов. Группы фигур. Цикловой тип перестановки и классы сопряжённости в симметрической группе. Действие группы на множестве, длина орбиты и подсчёт числа орбит. Регулярные и присоединённое действия группы на себе. Смежные классы и индексы подгрупп. Нормальные подгруппы и фактор группы. Конспект: PDF 257 Kb обновлён 26.03.2021. Видеозаписи: лекция 25.02, лекция 4.03.

Тема 12. Свободные группы и заданиие групп образующими и соотношениями. Образующие и соотношения групп многогранников и симметрической группы. Простые группы, композиционные факторы и теорема Жордана – Гёльдера. Простота знакопеременных групп. Полупрямые произведения групп. Свойства p-групп, теоремы Силова. Конспект: PDF 456 Kb обновлён 26.03.2021. Видеозаписи: лекция 11.03, лекция 18.03.

Тема 13. Билинейные формы: матрицы Грама, корреляции, ядра, ранг, изометрии. Невырожденные формы: изоморфизм пространства билинейных форм с пространством линейных операторов, две невырожденные билинейные формы над алгебраически замкнутым полем характеристики не 2 изометрически изоморфны если и только если их канонические операторы подобны, двойственные базисы, ортогоналы и ортогональные проекции на подпространства, куда билинейная форма ограничивается невырождено. Симметричные и кососимметричные формы: ограничение на дополнение к ядру и спуск на фактор по ядру невырождены, теорема Лагранжа о диагонализации симметричной билинейной формы и теорема Дарбу о нормальном виде кососимметричной билинейной формы, дополнение изотропного подпространства в прострнастве с невырожденной (косо) симметричной формой до гиперболического (симплектического). Конспект: PDF 124 Kb обновлён 26.03.2021. Видеозаписи: лекция 25.03, лекция 8.04.

Тема 14. Пространство с невырожденной симметричной билинейной формой: лемма Витта, группа изометрий порождается отражениями и транзитивно действует на изотропных и гиперболических подпространствах фиксированной размерности, разложение пространства в сумму гиперболического и анизотропного. Поляризация квадратичной формы. Квадратичные формы над конечными полями характеристики >2. Вещественные квадратичные формы, отыскание сигнатуры. Грассмановы квадратичные формы: поляризация и приведение к нормальному виду Дарбу. Критерий разложимости. Пфаффиан кососимметрической матрицы. Конспект: PDF 174 Kb обновлён 15.04.2021. Видеозаписи: лекция 13.04, лекция 15.04, лекция 22.04.

Тема 15. Эрмитовы (унитарные) пространства. Эрмитова геометрия: нормы и углы, ортогональные проекции, унитарные операторы, эрмитов объём. Эрмитово сопряжение линейных операторов, ортогональная диагонализация нормальных операторов, примеры: (анти)самосопряжённые и унитарные операторы. SVD-разложение. Полярное разложение. Экспоненциальное накрытие унитарной группы. Конспект: PDF 143 Kb обновлён 14.05.2021. Видеозаписи: лекция 29.04, лекция 13.05.

Задачи для самостоятельного решения

в весеннем семестре задачи можно сдавать до 15 мая включительно по четвергам с 19:20 до 21:00 в ауд. 401 МЦНМО либо по личной договорённости со своим преподавателем. Задачи делятся на «обязятельные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не обязательно для получения максимальной итоговой оценки. Обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи — дополнительные. В первом семестре учитываются листки с первого по девятый включительно, во втором семестре — начиная с девятого (включая девятый).

Экзамены и оценки

После каждого семестра по этому курсу проводится письменный экзамен и выставляется итоговая оценка, которая складывается из доли E решённых экзаменационных задач и доли L решённых в течение семестра задач из листков. Обе доли вычисляются в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в каждом из видов, по формуле: 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что результат может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле:

min(150,L+E)/30

Таким образом, для получения максимальной оценки 5 достаточно решить 75% задач из листков и 75% экзаменационных задач или каким-то другим способом набрать L+E=150. При наборе меньшей суммы L+E итоговая оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).

Каждый экзамен состоит из двух независимых письменных работ. Первая проводится в конце текущего семестра, вторая — в начале следующего. Обе работы равноправны и можно написать любую из них или обе сразу. В последнем случае в качестве E берётся наибольший из двух результатов.

Экзамены за первый семестр прошли 20 декабря c 11:00 до 15:00 (заочно) и 14 февраля с 11:00 до 15:00 (очно). Программа экзамена за первый семестр.

Первый экзамен за второй семестр был в воскресенье 16 мая c 10:00 до 14:00 в НМУ, ауд. 310. Программа экзамена за второй семестр. Показ работ первого экзамена будет в четверг 20 мая в 17:30 в НМУ, там же, где были лекции.