ВШЭ, Геометрическое введение в алгебраическую геометрию, 2016/17

на мою стартовую страницу
на стартовую страницу лаборатории

Учебные материалы к семестровому курсу
«Геометрическое введение в алгебраическую геометрию»
(факультет математики НИУ ВШЭ, осень 2016)

Содержание:
краткая аннотация
записки лекций
задачи семинаров
зачёт и экзамен

Записки лекций

Все имеющиеся на сегодняшний день лекции одним файлом: [PDF, 726kb, последнее обновление 13.11.2016]. Помимо этих записок для подготовки к экзаменам и при решении задач я рекомендую следующие учебники:

В.И.Данилов. Алгебраические многообразия и схемы. ВИНИТИ Совр. Проб. Математ. Фундам. Напр. т.23 «Алгебраическая геометрия – 1» (1988) (есть в колхозе)
А.Л.Городенцев. Геометрическое введение в алгебраическую геометрию. Версия от 13.04.2013 (PDF 1.5Mb).
Ю.И.Манин. Введение в теорию схем и квантовые группы. М., «МЦНМО», 2012.
Дж.Харрис. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. М., «МЦНМО», 2005 (или английское издание, есть в колхозе)
И.Р.Шафаревич. Основы алгебраической геометрии. М., «Наука», 1988 (или любое другое издание, есть в колхозе)

Лекция 1. Проективная геометрия [последнее обновление 11.10.2016]. Напоминания про проективные пространства, линейные проективные преобразования, проекции, коники и квадрики, а также задание аффинных и проективных фигур уравнениями.
Лекция 2. Многообразия Веронезе, Грассмана и Сегре [последнее обновление 11.10.2016]. Напоминания из полилинейной алгебры. Поляризация многочленов и грассмановых многочленов, касательные и поляры проективных гиперповерхностей. Многообразия Веронезе, Грассмана и Сегре, их вложения в проективные пространства и задание уравнениями.
Лекция 3. Аффинная алгебраическая геометрия [последнее обновление 11.11.2016]. Порция коммутативной алгебры (целые расширения колец, теоремы Гильберта о базисе и нулях полиномиального идеала, строение конечно порождённых коммутативных алгебр над полем). Оборачивающая стрелки эквивалентность между категориями аффинных алгебраических многообразий и конечно порождённых приведённых коммутативных алгебр над алгебраически замкнутым полем, аффинный алгебро-геометрический словарик. Топология Зарисского. Рациональные функции. Геометрические свойства гомоморфизмов алгебр.
Лекция 4. Алгебраические многообразия [последнее обновление 13.11.2016]. Алгебраическй атлас, структурный пучок, регулярные морфизмы, замкнутые подмногообразия, аффинные и проективные многообразия. Регулярный морфизм проективного многообразия в отделимое замкнут, а в аффинное постоянен. Конечные проекции, нормализация Нётер. Размерность, размерности подмногообразий, пересечений, и слоёв регулярных морфизмов. Размерностный критерий неприводимости. Вычисление размерностей проективных многообразий при помощи многообразий инцидентности. Примеры: результант, прямые на поверхностях. 27 прямых на гладкой кубической поверхности.

Задачи семинаров

Задания делятся на «обязятельные» и помеченные звёздочкой «дополнительные», решение которых положительно сказывается на итоговой оценке, но не обязательно для получения максимального балла. Задачи можно решать в любом порядке в течение всего семестра, вплоть до первого итогового экзамена. Сдавать решённые задачи можно только специально авторизованным для этого преподавателям. Результат такой сдачи фиксируется в имеющийся на обороте каждого листка персональный табель, котором принявший задачу преподаватель указывает дату сдачи, пишет своё имя и расписывается. Не теряйте табели — они являются единственными источником информации о том, сколько задач Вы сдали, что существенно влияет на итоговую отметку.

Выданные на текущий момент листки с задачами:

Листок 1 (7 сентября). Прективная геометрия.
Листок 2 (14 сентября). Проективные квадрики.
Листок 3 (21 сентября). Грассманнианы.
Листок 4 (28 сентября, обновлено 4 октября). Порция коммутативной алгебры.
Листок 5 (5 октября). Аффинные алгебраические многообразия.
Листок 6 (19 октября). Соображения размерности.
Листок 7 (9 ноября). Пучки модулей и семейства векторных пространств.
Листок 8 (7 декабря). Касательные и кокасательные расслоения.

Порядок сдачи зачета и экзамена

Итоговая оценка за этот курс ставится после 2-го модуля. Она складывается из результатов итогового письменного экзамена и общего числа решённых в течение семестра (двух модулей) обязательных задач из листков. Если Вы решили E% экзаменационного задания и L% от общего числа обязательных задач, выданных в течение семестра (двух модулей), максимальная оценка «10» ставится при L+E=150 или выше, и линейно уменьшается при меньшей сумме.