- Двумерное и трёхмерное координатное пространство:
- точки, векторы, ориентированная площадь, ориентированный объём,
скалярное произведение, вычисление расстояний и углов,
взаимное расположение прямых и плоскостей.
- Векторные пространства:
- существование базисов, размерность и взаимное расположение подпространств;
объёмы и определители; двойственность и геометрическая теория линейных уравнений.
- Евклидова геометрия пространства Rn:
- вычисление длин, углов и объёмов, ортогональное проектирование;
разложение евклидовой изометрии в ортогональную сумму поворотов;
ортогональная группа порождается отражениями.
- Аффинная геометрия и топология пространства Rn:
- нормы, метрики и топологии, топологическая эквивалентность норм;
свойства компактов; выпуклые множества, опорные полупространства, грани и крайние точки;
геометрическое описание норм.
- Полиэдры и полиэдральные конусы в Rn:
- многогранники и полиэдральные конусы, двойственность Гейла; теорема Минковского - Вейля
(выпуклые оболочки конечных наборов точек суть компактные пересечения конечных наборов полупространств
и наоборот), двойственные многогранники; правильные многогранники; отыскание максимума аффинно линейной
функции на выпуклом многограннике.
- Проективные пространства:
- словарик «Линейная алгебра – Проективная геометрия»; однородные координаты, аффинные карты,
аффинные и проективные алгебраические многообразия; проекции; вложение Веронезе;
проективная группа, двойное отношение, гармонические четвёрки точек.
- Проективные квадрики и коники:
- ранг, ядро, простые и особые точки, касательное пространство и линейные пространства, лежащие на гладкой квадрике;
квадрика является линейным соединением пространства особых точек с гладкой квадрикой в дополнительном подпространстве;
полярное преобразование относительно гладкой квадрики;
коники над замкнутым полем, теорема Паскаля, построения одной линейкой, пучки коник;
соответствия на прямой и на конике, поризм Понселе; проективная теория аффинных и евклидовых коник;
пространство квадрик, инварианты пучка квадрик;
перечисление проективных, аффинных и евклидовых вещественных квадрик.
Помимо записок лекций, выложенных ниже, для подготовки к экзаменам и выполнения контрольных работ рекомендуются следующие учебники:
- M.Audin. Geometry. Springer Universitext, 2003 (есть в колхозе)
- В.В.Прасолов, В.М.Тихомиров. Геометрия. М., «МЦНМО», 1997 (или любое другое издание)
- Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
- А.Л.Городенцев. Алгебра – 1 (4.5Mb PDF, версия от 05.2011).
- М.Берже. Геометрия. Т. 1, 2. М., «Мир», 1974 (крайне неудобочитаемая книга, но содержит массу всего)
Записки лекций
- Неформальное введение [обновлено 03.10.2011]
- Лекция 1: координатная плоскость [обновлено 03.10.2011]
- Лекция 2: многомерные векторные и аффинные пространства и их подпространства [обновлено 19.10.2011]
- Лекция 3: объёмы, определители, матрицы переходов [обновлено 19.10.2011]
- Лекция 4: евклидова геометрия [обновлено 19.10.2011]
- Лекция 5: аффинные преобразования и движения евклидовых пространств [обновлено 29.10.2011]
- Лекция 6: топологии, метрики, нормы и выпуклость [обновлено 25.11.2011]
- Лекция 7: выпуклые многогранники и полиэдральные конусы, линейная оптимизация [обновлено 12.02.2012]
- Лекция 8: двойственность Гейла и симплекс-метод [пока не готова]
- Лекция 9: проективные пространства и проективные преобразования [обновлено 12.02.2012]
- Лекция 10: проективные квадрики [обновлено 22.02.2012]
- Лекция 11: игры с кониками и соответствиями на прямых.
- Лекция 12: аффинные, вещественные и евклидовы квадрики и коники [пока не готова]
- Листок 1: векторы, точки и прямые на координатной плоскости. Выдаётся с 1 сентября.
- Листок 2: увеличиваем размерность. Выдаётся с 20 сентября.
- Листок 3: примеры векторных пространств и базисов. Выдаётся с 28 сентября.
- Листок 4: евклидова геометрия. Выдаётся с 7 октября.
- Листок 5: аффинные и ортогональные преобразования. Выдаётся с 20 октября.
- Листок 5½ (необязательный): правильные многогранники. Выдаётся с 18 ноября.
- Листок 6: топологии, метрики, выпуклость. Выдаётся с 15 ноября.
- Листок 7: ВМК и многогрнники. Выдаётся со 2 декабря.
- Листок 8: Словарик «Линейная алгебра – Проективная геометрия». Выдаётся с 16 января.
- Листок 9: Проективные пространства. Выдаётся с 23 января.
- Листок 10: Игры с кониками. Выдаётся с 14 февраля. [обновлено 09.02.2012]
- Листок 11: Аффинные и евклидовы коники. Выдаётся с 21 февраля. [обновлено 09.02.2012]
- Классная контрольная работа N1: евклидова геометрия в R2 и в R3. Состоялась 27 сентября. Контрольную можно доделать дома и сдать 28 сентября перед семинаром по геометрии. Решения, сданные 28 сентября, оцениваются с весом 80% от номинала.
- Домашняя контрольная работа N2: евклидова геометрия в R3 и в R4. Выдана 8 ноября. Номер Вашего варианта — это Ваш порядковый номер в официальном алфавитном списке всех студентов 1-го курса (кто оного не знает, справьтесь в учебной части). Работу необходимо сдать 15 ноября перед занятием по геометрии.
- Домашняя контрольная работа N3: линейная оптимизация. Выдана 20 декабря. Номер Вашего варианта — тот же, что и в предыдущей контрольной (если он превышал 50, свяжитесь со мною лично). Работу необходимо сдать 27 декабря перед зачётом по геометрии.
- Домашняя контрольная работа N4 (исправленная версия): выпуклые многогогранные конусы. Выдана 2 марта. Номер Вашего варианта см. в этом списке. Работу необходимо сдать во вторник 6 марта перед семинаром по геометрии. Если в предыдущей версии контрольной в Вашем варианте была ошибка в условии второй задачи, сделайте новую версию этой же задачи из варианта с тем же номером. Задачу в исправленной версии необходимо сдать в среду 7 марта перед семинаром по геометрии.
- Домашняя контрольная работа N5: коники. Выдана 14 марта. Номер Вашего варианта см. в этом списке. Работу необходимо сдать во вторник 20 марта перед семинаром по геометрии.
- Домашняя контрольная работа N6: квадратичные формы. Выдана 21 марта. Номер Вашего варианта см. всё там же. Работу необходимо сдать во вторник 27 марта перед экзаменом по геометрии.
- Коллоквиум по материалам 1-го модуля был 2 ноября. Вот программа с точными ссылками на записки лекций
(102 kB, PDF)
и реальные билеты (58 kB, PS.GZ).
По этому курсу происходят письменный зачёт (после 2-го модуля) и письменный экзамен (после 3-го модуля) и, соответственно, ставятся 2 итоговых отметки в зачётку (полсле 2-го и после 3-го модуля). Правила рассчёта итоговой отметки таковы. В каждом из 4-х видов деятельности — решение задач из листков, решение задач из контрольных, ответы на коллоквиумах, решение задач из зачётной (соотв. экзаменационной) работы — вычисляется процентная доля выполненных заданий от общего суммарного количества заданий дававшихся в этом виде деятельности за оцениваемый период (первые 2 модуля и 3-й модуль соответственно). Например, если за весь третий модуль Вы суммарно вы решили 30 задач из листков, а всего в третьем модуле было задано 100 задач без звёздочек, то Вы набираете за листки 30%. Пусть Вы успешно решили L% задач из листков, K% задач из контрольных, E% задач из экзаменционной (или зачётной) работы и справились с C% заданий коллоквиума. Максимальная оценка 10 баллов ставится во II модуле за L+K+E+C≥300, в III модуле — за L+K+E≥225. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно.
- Письменный зачёт по материалам 1-го и 2-го модулей был 27 декабря. Вариант задания:
(104 kB, PDF).
- Итоговый письменный экзамен по курсу геометрии был 27 марта. Вариант задания:
(57 kB, PDF).