Ниже представлены записки моих лекций по алгебре, читанных в первом семестре студентам - математематикам Независимого Университета. На программу курса большое влияние оказала книга И.Р.Шафаревича "Основные понятия алгебры", которую мы рекомендуем в качестве "настольного" учебника алгебры всем, кто собрался её изучать.
Отсюда можно скачать
подробную программу курса
,
развёрнутое содержание лекций
и
алфавитный указатель по запискам лекций
Лекция 1.
Поля. Алгебраические числа. Комплексные числа.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 2.
Коммутативные кольца. Факторизация. Идеалы. Гомоморфизмы.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 3.
Делимость и многочлены. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца.
Китайская теорема об остатках. Присоединение корней. Разложение
на множители многочленов с целыми коэффициентами. Факториальные кольца.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 4.
Линейные уравнения и матрицы. Метод Гаусса над полем и
над евклидовым кольцом. Алгебра матриц.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 5.
Векторные пространства и модули. Язык векторов: линейная алгебра
и аффинная геометрия. Образующие, базисы и линейная зависимость.
Координаьный и матричный формализм.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 6.
Ориентированный объём. Полилинейные косые формы. Определители: свойства,
методы вычисления, применения. Результант и дискоиминант.
Формулы для разложения по группе строк (столбцов).
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 7.
Подмодули и фактор модули. Прямые суммы модулей. Строение модулей над
евклидовыми кольцами. Инвариантные множители и элементарные делители.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 8.
Многочлены от многих переменных. Симметрические многочлены (переходы между стандартными базисами в кольце симметрических функций). Рациональные функции и простейшие дроби. Алгебраические функции, разложение неявной алгебраической функции в дробно-степенной ряд Пюизо.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 9.
Формальные операции над формальными степенными рядами. Экспонента,
логарифм, бином. Разностные операторы на пространстве многочленов.
Метод производящих функций. Числа и многочлены Бернулли.
(GZIP'ed PostScript).
Лекция 10.
Группы. Действие группы на множестве. Длины орбит.
Факторизация и гомоморфизмы. Нормальные подгруппы. Симметрические группы
и группы многогранников. Простота занкопеременных групп.
(GZIP'ed PostScript).
Задания делятся на "обязятельные", составляющие программу зачёта по алгебре, и "дополнительные", решение которых почётно, но никак не влияет на получение зачёта.
Студенты ВКМ НМУ в первом семестре обычно должны сдать и зачет и экзамен по курсу алгебры. Их можно сдавать независимо друг от друга, однако официальная отметка об успешной сдаче курса "Алгебра - 1" появится в зачётке только после того, как будут сданы и зачет и экзаен. Для сдачи зачета надо получить от преподавателя индивидуальное задание, составленное из задач, предлагавшихся на упражнениях. Эти задачи следует письменно решить, а затем обсудить решения с преподавателем. Экзамен состоит в письменном решении пяти - шести задач, не входящих в число задач, предлагавшихся на упражнениях. Помимо записок лекций и уже упоминавшейся выше книги И.Р.Шафаревича, для подготовки к экзамену можно использовать также учебник Э.Б.Винберга "Основы алгебры" и имеющиеся на сайте НМУ записки лекций Г.Рыбникова.
Образец экзаменационной работы имеется здесь
