Помимо записок лекций, которые по мере готовности будут пояляться ниже, я рекомендую следующие учебники:
- Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (есть в колхозе)
- Э.Б.Винберг. Линейные представления групп. М., «Наука», 1985 (есть в колхозе)
- А.Л.Городенцев. Алгебра – 1 (PDF 4.5Mb, версия от 05.2011).
- А.Л.Городенцев. Алгебра – 2 (версия от 06.2015: PDF 2.1Mb)
- С.Ленг. Алгебра. М., «Мир» (есть в колхозе)
- У.Фултон. Таблицы Юнга и их применение в ... М., «МЦНМО» (есть в колхозе)
- W.Fulton, J.Harris. Representation Theory. A first course. (есть в колхозе)
Все доступные на сегодня конспекты лекций одним файлом:
PDF 676 kb обновлён 1.05.2023.
Тема 1.
Полилинейные отображения и тензорное произведение векторных пространств, линейные порождающие и базисы в тензорном произведении, универсальное свойство и канонические изоморфизмы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Разложимые тензоры и многообразия Сегре, пример: линейные операторы как тензоры, изоморфизм U*⊗W=Hom(U,W) и квадрика Сегре. Тензорное произведение линейных отображений. Тензорная алгебра векторного пространства. Свёртки, полилинейные формы как тензоры, линейный носитель тензора и его линейные порождающие..
Конспект: PDF 112 kb обновлён 6.03.2023.
Тема 2.
Cимметрическая алгебра векторного пространства (алгебра многочленов). Симметрические тензоры. Поляризация и частные производные многочленов над полем характеристики нуль, примеры: разложение Тейлора, принцип Аронгольда. Многочлены с одномерным линейным носителем, многообразия Веронезе..
Конспект: PDF 111 kb обновлён 6.03.2023.
Тема 3.
Внешняя алгебра векторного пространства (алгебра грассмановых многочленов), примеры: соотношения Лапласа, грассмановы квадратичные формы, определитель пучка матриц. Кососимметрические тензоры. Поляризация и частные производные грассмановых многочленов над полем характеристики нуль. Грассмановы многочлены с минимальным линейным носителем, соотношения Плюккера, многообразия Грассмана и Сегре..
Конспект: PDF 137 kb обновлён 6.03.2023.
Тема 4.
Симметрические и кососимметрические многочлены и ряды.
Мономиальные, элементарные и полные симметрические многочлены, многочлены Ньюьона и детерминантные многочлены Шура.
Выражение элементарных и полных многочленов через Ньютоновские и друг через друга.
Выражение детерминантных многочленов Шура через полные (формула Джамбелли).
Формула Пьери для умножения полинома Шура на полный симметрический многочлен.
Кольцо симметрических функций.
Конспект: PDF 111 kb обновлён 6.03.2023.
Тема 5.
Исчисление массивов, таблиц и диаграмм. Элементарные операции над масивами и уплотнение массивов, теорема о биекции, соотношения между количествами таблиц и стандартных таблиц. Действие симметрической группы на массивах. Полиномы Шура DU-множеств и DU-орбит, числа Костки, правило Литтлвуда–Ричардсона и тождество Якоби–Труди.
Конспект: PDF 252 kb обновлён 14.03.2023.
Тема 6.
Основные понятия теории представлений: приводимость, разложимость, полупростота, гомоморфизмы представлений, лемма Шура, изотипные подмодули. Полупростые модули над ассоциативными алгебрами: свойства, теорема о двойном централизаторе, теорема Бернсайда, изотипное разложение. Представления групп: операции над представлениями, полная приводимость представлений конечной группы, диагонализуемость операторов из конечной группы. Пример: представления конечных абелевых групп, мультипликативные характеры и двойственность Понтрягина.
Конспект: PDF 133 kb обновлён 19.04.2023.
Тема 7.
Строение групповой алгебры конечной группы: теорема Машке, соотношения на количество и размерности неприводимых представлений, cкалярное произведение, формула Планшереля, ортогональное разложение единицы в сумму проекторов на изотипные компоненты. Преобразование Фурье. Теория характеров, кольцо представлений. Индуцированные и коиндуцированные представления, взаимность Фробениуса.
Конспект: PDF 154 kb обновлён 1.05.2023.
Тема 8.
Действие симметрической группы на заполненных диаграммах Юнга, симметризаторы Юнга и минимальные левые идеалы групповой алгебры C[Sn]. Модуль таблоидов и его характер. Модуль Шпехта и его табличный базис. Изометрический изоморфизм кольца представлений симметрических групп с кольцом симметрических функций: умножение Литтлвуда–Ричардсона, правила ветвления и формула Фробениуса для неприводимых характеров.
Конспект: PDF 145 kb обновлён 1.05.2023.
Задачи делятся на «обязятельные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не обязательно для получения максимальной итоговой оценки. Обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи — дополнительные. Задачи следует решать самостоятельно, а потом сдавать решения преподавателям во время семинаров (или иными способами по договорённости с преподавателями). Решения всех задач должны быть заранее внятно записаны. Задачи принимаются вплоть до начала сессии, после начала сессии задачи сдавать нельзя. Время каждого семинара поровну делится между всеми желающими сдавать задачи, и претензии, что Вы не успели в это время уложиться, не принимаются. Поэтому я настоятельно рекомендую сдавать примерно 5-7 задач каждую неделю и ни в коем случае не откладывать сдачу большого числа задач на конец семестра — сделать это, скорее всего, будет невозможно.
- Листок 1 (7 февраля). Тензорная алгебра.
- Листок 2 (14 февраля, обновлён 7 марта). Алгебры многочленов.
- Листок 3 (7 марта). Симметрические функции.
- Листок 4 (21 марта). Массивы, таблицы и диаграммы.
- Листок 5 (4 апреля). Примеры линейных представлений.
- Листок 6 (18 апреля). Представления конечных групп.
- Листок 7 (25 апреля, обновлён 26 апреля). Представления симметрических групп.
После каждого семестра по этому курсу проводится письменный экзамен и выставляется итоговая оценка, которая складывается из доли E решённых экзаменационных задач и доли L решённых в течение семестра задач из листков. Обе доли вычисляются в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в каждом из видов, по формуле:
100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что результат может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(150,L+E)/15
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно решить 75% задач из листков и 75% экзаменационных задач или каким-то другим способом набрать L+E=150. При наборе меньшей суммы L+E итоговая оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
