Помимо записок лекций, которые мало-помалу будут пояляться ниже, для подготовки к экзаменам и при решении задач я рекомендую учебники:
- Э.Б.Винберг. Курс алгебры. М., «Факториал», 1999 (или любое другое издание)
- А.Л.Городенцев. Алгебра. Учебник для студентов-математиков. Часть I. «МЦ НМО», 2013
(версия от 05.2011 есть в виде
3.7Mb PS.GZ
или
4.5Mb PDF).
- И.Р.Шафаревич. Основные понятия алгебры. ВИНИТИ, Совр. Пробл. Математ. Фундам. Напр., Алгебра-1 (есть в колхозе)
Предлагаемые ниже записки разбиты на части, не вполне соответствующие фактически прочитанным лекциям, но весьма близки к ним.
Лекция 1
Необходимые предварительные сведения и терминология, относящиеся к множествам и отображениям.
Разбиения и факторизация. Диаграммы Юнга. Мультиномиальные коэффициенты и прочая комбинаторика.
(PDF, 153 Kb [обновлено 27.09.2013]).
Лекция 2.
Определения и терминология, относящиеся к полям, коммутативным кольцам и абелевым группам. Простейшие свойства гомоморфизмов.
Прямые произведения абелевых групп и колец. Кольца и поля вычетов.
Китайская теорема об остатках, нод и взаимная простота в кольце целых чисел.
Простое подполе, характеристика, гомоморфизм Фробениуса.
(PDF, 169 Kb [обновлено 24.10.2013]).
Лекция 3.
Многочлены и формальные степенные ряды. Делимость и китайская теорема об остатках в кольце многочленов.
Корни многочленов. Кольца вычетов K[x]/(f) и алгебраические расширения полей.
Поле комплексных чисел. Конечные поля. Квадратичные вычеты.
(PDF, 254 Kb [обновлено 24.10.2013]).
Лекция 4.
Кольца частных, поле рядов Лорана, поле рациональных функций,
разложение рациональных функций в сумму простейших дробей и в степенной ряд. Решение линейных рекуррентных уравнений.
Экспонента, логарифм, бином (с произвольным показателем). Ряд Тодда и числа Бернулли, суммирование степеней.
Ряды Пюизо, лемма Гензеля и метод Ньютона.
(PDF, 236 Kb [обновлено 24.10.2013]).
Лекция 5.
Идеалы и фактор кольца. Нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе идеала.
Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца.
Факториальные кольца. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом.
Разложение на множители многочленов с целыми коэффициентами.
(PDF, 171 Kb [обновлено 2.12.2013]).
Лекция 6.
Векторные пространства, базисы, размерность. Линейные отображения, размерность ядра и образа. Подпространства, размерность суммы и пересечения. Прямые суммы и прямые произведения пространств и подпространств. Аффинные пространства и их аффинные подпространства. Фактор пространства. Линейная оболочка как фактор.
(PDF, 209 Kb [обновлено 2.12.2013]).
Лекция 7.
Двойственное пространство, двойственные базисы, отождествление конечномерного пространства с дважды двойственным. Двойственность между аннуляторами, качественная теория систем линейных уравнений. Двойственные операторы, аннулятор ядра и образа, теорема о ранге матрицы. Расположение подпространства по отношению к базису, приведение матрицы к строгому ступенчатому виду методом Гаусса, отыскание базиса в линейной оболочке и в факторе по линейной оболочке, решение систем линейных уравнений.
(PDF, 165 Kb [обновлено 2.12.2013]).
Лекция 8.
Алгебры над полем. Алгебра матриц. Матрицы перехода и матрицы операторов. Обратимые матрицы, отыскание обратной матрицы методом Гаусса. Матрицы над (некоммутативным) кольцом, обратимость верхних унитреугольных матриц.
(PDF, 144 Kb [обновлено 2.12.2013]).
Лекция 9.
Ориентированный объём. Полилинейные косые формы. Свойства определителей. Миноры. Грассмановы многочлены. Соотношения Лапласа. Присоединённая матрица, формула для обратной матрицы. Правила Крамера.
(PDF, 181 Kb [обновлено 2.12.2013]).
Лекция 10.
Модули над коммутативными кольцами, образующие и соотношения. Факторизация по идеалу кольца, ранг свободного модуля. Модули над кольцами главных идеалов, теоремы об элементарных делителях и об инвариантных множителях. Пример: строение конечнопорождённых абелевых групп.
(PDF, 187 Kb [обновлено 12.12.2013]).
Лекция 11.
Классификация пространств с оператором над произвольным полем. Характеристический и минимальный многочлены. Нильпотентные и полупростые операторы. Циклические векторы. Собственные векторы, собственные значения и диагонализуемые операторы. Разложение пространства в сумму инвариантных подпространств по разложению аннулирующего многочлена на множители. Жорданова нормальная форма, разложение Жордана и корневое разложение над алгебраически замкнутым полем. Алгебраическое вычисление гладких функций от операторов.
(PDF, 193 Kb [обновлено 10.12.2013]).
Лекция 12.
Определения и примеры групп и их гомоморфизмов. Группы фигур. Цикловой тип перестановки и классы сопряжённости в симметрической группе. Действие группы на множестве, длина орбиты и подсчёт числа орбит. Регулярные и присоединённое действия группы на себе. Смежные классы и индексы подгрупп. Нормальные подгруппы и фактор группы.
(PDF, 369 Kb [обновлено 18.03.2014]).
Лекция 13.
Свободные группы и заданиие групп образующими и соотношениями. Образующие и соотношения симметрической группы и групп многогранников. Простые группы, композиционные факторы и теорема Жордана – Гёльдера. Простота знакопеременных групп. Полупрямые произведения групп. Свойства p-групп, теоремы Силова.
(PDF, 254 Kb [обновлено 22.03.2014]).
Лекция 14.
Билинейные формы, матрицы Грама, корреляции. Конструкции с невырожденными формами: двойственные базисы, сопряжение операторов, канонический оператор. Ортогоналы и ортогональные проекции. Свойства (косо)симметричных форм. Невырожденные кососимметричные формы, лагранжевы подпространства, пфаффиан кососимметричной матрицы.
(PDF, 182 Kb [обновлено 29.03.2014]).
Лекция 15.
Алгебра SV* (неформальное описание). Симметричные билинейные и квадратичные формы. Изотропные подпространства. Разложение невырожденной квадратичной формы в ортогональную прямую сумму анизотропной и гиперболической. Изометрии невырожденной симметричной формы, лемма Витта. Квадратичные формы над полями Fp. Квадратичные формы над вещественным полем, отыскание сигнатуры. Проективные квадрики, касательные пространства квадрик, линейные подпространства на квадриках. Аффинные квадрики, перечисление вещественных аффинных квадрик.
(PDF, 251 Kb [обновлено 21.05.2014]).
Задачи можно решать в любом порядке в течение всего семестра, вплоть до начала экзамена. Задачи делятся на «обязятельные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не обязательно для получения максимальной итоговой оценки. В первом семестре обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами с 1-го по 9-й включительно. Во втором семестре обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами, начиная с 10-го включительно. Все остальные задачи — необязательные.
Решения необходимо записывать. Сдавать решённые задачи можно только специально авторизованным для этого преподавателям одним из следующих двух способов:
- Письменно или устно во время отведённых под это занятий, происходящих по средам с 19:20. Результат такой сдачи фиксируется в имеющийся на обороте каждого листка персональный табель, где преподаватель указывает дату сдачи задачи и пишет своё имя. Не теряйте табели — их содержимое существенно влияет на итоговую отметку, и они являются единственными источником информации о том, сколько задач Вы сдали.
- Письменно
через интернет.
Для этого потребуется внятно и разборчиво записать решение каждой сдаваемой задачи
чёрной ручкой на отдельном белом листе A4, отсканировать его,
сохранить изображение в файл формата jpg или pdf объёмом не более 1 Mb,
но достаточно резкий и контрастный для того, чтобы его можно было комфортно
читать распечатанным на лазерном принтере,
зайти на сайт
и следовать указанным там инструкциям. Со всеми вопросами следует обращаться к
Михаилу Скопенкову
(mikhail.skopenkov блямба гмайл ком).
Выданные на текущий момент листки с задачами:
Первый семестр
- Листок 1 (выдавался 4 сентября):
элементы комбинаторики.
- Листок 2 (выдавался 4 сентября):
примеры полей и коммутативных колец.
- Листок 3 (выдавался 11 сентября):
многочлены, деление с остатком, китайская теорема об остатаках.
- Листок 3½ (необязательный, доступен с 19 сентября):
квадратичный закон взаимности.
- Листок 3⅔ (необязательный, доступен с 19 сентября):
обращение Мёбиуса.
- Листок 4 (выдавался 25 сентября):
элементарные функции и формальные степенные ряды.
- Листок 5 (выдавался 9 октября):
идеалы, фактор кольца и делимость.
- Листок 6 (выдавался 30 октября):
векторные пространства и линейные отображения.
- Листок 7 (выдавался 6 ноября):
матрицы.
- Листок 8 (выдавался 20 ноября):
определители.
- Листок 9 (выдавался 27 ноября):
Z-модули.
- Листок 10 (необязательный в 1-м семестре, выдавался 11 декабря):
пространства с опрератором.
Второй семестр
- Листок 10 (выдавался 11 декабря):
пространства с опрератором.
- Листок 11 (выдавался 12 февраля):
примеры групп.
- Листок 12 (выдавался 19 февраля):
действия и гомоморфизмы групп.
- Листок 13 (выдавался 12 марта):
немного о строении групп.
- Листок 14 (выдавался 26 марта):
билинейные формы.
- Листок 15 (выдавался 2 апреля):
ликбез по евклидовой геометрии.
- Листок 16 (выдавался 9 апреля):
квадратичные формы.
- Листок 17 (выдавался 30 апреля):
эрмитовы формы, операторы на комплексных и вещественных пространствах.
- Листок 18 (выдавался 15 мая):
кватернионы.
В каждом семестре за курс алгебры выставляется одна итоговая отметка. Она складывается из результатов итогового письменного экзамена и общего числа решённых Вами в течение семестра обязательных задач из листков. Если Вы решили E% экзаменационного задания и L% от общего числа обязательных задач, выданных в течение семестра, отметка «отлично» ставится при L+E>140, отметка «хорошо» при L+E>100, отметка «удовлетворительно» при L+E>60. При этом L = 100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что L может быть больше 100.
Экзамен состоит из двух независимых письменных работ. Первая проводится в конце семестра, вторая — в начале следующего. Обе работы равноправны и можно написать любую из них или обе сразу. В последнем случае в качестве результата экзамена берётся лучший из двух результатов.
Задачи 1-го экзамена за первый семестр (22 декабря 2013 г).
Задачи 2-го экзамена за первый семестр (9 февраля 2014 г).
Задачи 1-го экзамена за второй семестр (25 мая 2014 г).
Задачи 2-го экзамена за второй семестр (12 октября 2014 г).
Образцы экзаменационных заданий прошлых лет можно найти на страницах аналогичных курсов, прочитанных мною в 2000-х и 1990-х годах.
