Алгебра, второй семестр

Учебные материалы к моему курсу
Линейная алгебра и геометрия
(Алгебра - 2)

Содержание:
старые материалы 2001 года
записки лекций
задачи семинаров
зачёт и экзамен

Записки лекций

Если Вы ищите учебные материалы, опубликованные в 2001 году (полный учебник, полный задачник, материалы экзаменов, и т.п.), то всё это теперь находится здесь. На этой странице публикуются (по мере готовности) новые учебные материалы к курсу, читаемому в весеннем семестре 2006 года, и он отличается от предыдущего довольно сильно. Помимо настоящих записок мы рекомендуем в качестве руководства при решении задач и для подготовки к экзамену книги:
Э.Б.Винберг. "Курс Алгебры";
А.И.Кострикин, Ю.И.Манин "Линейная алгебра и геометрия".

Отсюда можно скачать предварительную программу курса ,

Лекция 1. Аффинные и проективные пространства. Словарик "линейная алгебра - проективная геометрия". Проектирование. Линейные проективные преобразования. Дробно линейные преобразования проективной прямой. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 2. Проективные квадрики и поляритеты. Проективная двойственнойсть. Линейные подпространства на квадрике. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 3. Отступление: игры с плоскими кониками, пучками прямых, дробно линейными преобразованиями и построениями одной линейкой. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 4. Аффинная и выпуклая геометрия, опорные полупространства, выпуклые многогранники. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 5. Метрики и скалярные произведения на вещественных пространствах. Вычисление длин, углов и объёмов. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 6. Ортогональная и симплектическая геометрия над произвольным полем. Разложение симметрической формы в сумму анизотропной и гиперболической. Ортогональная группа порождается отражениями. Квадратичные формы над R и над Z/(p). Канонический вид кососимметричной формы. Пфаффиан. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 7. Комплексификация и овеществление, условия Коши-Римана. Вещественные структуры на комплексном пространстве. Геометрический смысл комплексных собственных векторов вещественных операторов. Нормальная форма евклидовой изометрии. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 8. Эрмитова геометрия. Свойства коммутирующих операторов. Ортогональная диагонализация нормальных операторов в унитарном и евклидовом пространстве. Нормальные формы (анти)самосопряжённых и изометрических операторов. Полярное разложение оператора. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 9. Комплексные и эрмитовы структуры на вещественном пространстве, келеровы тройки. Продолжение заданной евклидовой или симплектической структуры до эрмитовой, соотношения Римана и зигелево полупространство. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 10. Отступление: комплексные 2х2-матрицы, кватернионы и спинорное разложение 4-мерного евклидова пространства. Накрытие S^3 = SU2 -> SO3 и расслоение Хопфа S^3 -> S^2. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 11. Элементарные делители и инвариантные подпространства линейных операторов над произвольным полем. Функции от операторов. Аддитивное разложение Жордана. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 12. Тензорные произведения векторных пространств и многообразия Сегре. Тензорная, симметрическая и внешняя алгебры векторного пространства. Линейный носитель тензора. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 13. Поляризация (косо)коммутативных многочленов и частные производные в симметрической и внешней алгебре (над полем характеристики нуль). Касательное пространство к проективной гиперповерхности. Линейный носитель (косо)коммутативного многочлена. (GZIP'ed PostScript).

Лекция 14. Отступление: многообразия Веронезе и Грассмана, их геометрические свойства и задание квадратичными уравнениями, Gr(2,4) и геометрия прямых в P_3. (GZIP'ed PostScript).

Задачи семинаров

Задания делятся на "обязятельные", составляющие программу зачёта по алгебре, и "дополнительные", решение которых почётно, но никак не влияет на получение зачёта. К дополнительным задачам, по определению, относятся все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами.

Задание 1: проективные пространства, проекции, проективные автоморфизмы;
Задание 2: игры с квадриками, кониками и пучками прямых и плоскостей;
Задание 3: аффинная и выпуклая геометрия;
Задание 4: евклидова геометрия;
Задание 5: комплексные и вещественные структуры; комплексные матрицы 2x2, кватернионы и сравнение маломерных ортогональных и унитарных групп;
Задание 6: скалярные произведения и линейные операторы на пространствах со скалярным произведением;
Задание 7: нормальные формы линейных операторов;
Задание 8: тензорная алгебра и геометрия;
Задание 9: диаграмный поиск, комплексы и когомологии;

Порядок сдачи зачета и экзамена

Во втором семестре студенты ВКМ НМУ должны сдать по курсу алгебры зачет и экзамен. Их можно сдавать независимо друг от друга, однако официальная отметка об успешной сдаче курса "Алгебра - 2" появится в зачётке только после того, как будут сданы и зачет и экзаен. Для сдачи зачета необходимо заранее письменно решить не менее 70% не отмеченных звёздочкой задач в каждом листочке с целым номером из списка задач, предлагавшихся на упражнениях, а затем обсудить эти решения с преподавателем. Экзамен состоит в письменном решении задач, требующих свободного владения материалом всего курса, и проводится дважды: в конце семестра и в начале следующего семестра. Обе попытки равноправны, и студенты могут воспользоваться любой из них (использовавшим обе попытки в качестве окончательной отметки ставится максимальная из двух полученных).

Задачи (домашнего) экзамена 17--23 мая 2006 года.

Задачи экзамена 17 сентября 2006 года.

Образцы экзаменационных задач прошлых лет имеются среди учебных материалов 2001 года.