Помимо моих собственных записок, которые по мере готовности будут появляться ниже, я рекомендую следующие учебники:
- Э. Б. Винберг. Курс алгебры, М., «Факториал Пресс», 2001. (есть в колхозе).
- Э. Б. Винберг. Линейные представления групп, М., «Наука», 1985. (есть в колхозе).
- А. Л. Городенцев. Алгебра для студентов-математиков. Часть II, М., МЦНМО, 2025
(или предварительная версия 2015 г).
- W. Fulton, J.Harris. Representation Theory. A first course. (есть в колхозе)
- Ж.-П. Серр. Линейные представления конечных групп., М., «Мир», 1970. (есть в колхозе)
- И. Р. Шафаревич. Основные понятия алгебры. ВИНИТИ, Совр. Пробл. Математ. Фундам. Напр., Алгебра-1 (есть в колхозе).
Все имеющиеся на сегодняшний день конспекты лекций одним файлом:
PDF 417kb обновлён 22.10.2026.
- Тема 1. Линейные представления множеств и ассоциативных алгебр: (не)приводимость, (не)разложимость, полупростота. Пример-напоминание: конечномерные представления одноэлементного множества (пространства с оператором). Свойства полупростых представлений, критерии полупростоты. Гомоморфизмы представлений, лемма Шура. Теорема Джекобсона о двойном централизаторе и теорема Бернсайда об ассоциативной оболочке образа неприводимого представления. Изотипноные компоненты и изотипное разложение полупростого представления.
Конспект:
PDF 104 kb обновлён 20.10.2026.
- Тема 2. Линейные представления групп, примеры, тензорные операции с представлениями, гомоморфизмы представлений. Проектор на инварианты. Полная приводимость представлений конечной группы. Комплексные и вещественные представления, инвариантные скалярные произведения. Представления конечных абелевых групп, мультипликативные характеры, двойственность Понтрягина и преобразование Фурье.
Конспект:
PDF 113 kb обновлён 20.10.2026.
- Тема 3. Групповая алгебра конечной группы: центр, разложение в сумму изотипных идеалов, теорема Машке, формула Планшереля, проекторы на изотипные компоненты, сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы, а их количество — числу классов сопряжённости. Каноническое скалярное произведение на групповой алгебре KG, ортогональность изотипных идеалов и неприводимых идемпотентов, характеры представлений. Преобразование Фурье KG→KG, каноническое скалярное произведение на KG, ортогональное исчисление характеров.
Конспект:
PDF 125 kb обновлён 22.10.2026.
- Тема 4. Кольцо представлений конечной группы. Внешнее тензорное произведение представлений, кольцо представлений прямого произведения конечных групп изоморфно тензорному произведению колец представлений этих групп. Ограничение и индуцирование модулей над ассоциативными алгебрами A⊂B, индуцированные представления групп, характер индуцированного представления. Коиндуцированные модули и коиндуицированные представления, коиндуцированное представление конечной группы канонически изоморфно индуцированному. Свойства целых элементов в расширениях коммутативных колец, характер конечномерного комплексного представления конечной группы цел над Z, и размерность такого представления делит индекс любой нормальной абелевой подгруппы (включая единичную).
Конспект:
PDF 143 kb обновлён 22.10.2026.
- Тема 5. Представления симметрических групп: симметризаторы Юнга порождают минимальные левые идеалы групповой алгебры, составляющие полный список неприводимых представлений. Представления, отвечающие транспонированным диаграммам, получаются друг из друга тензорным умножением на знаковое представление. Характер модуля таблоидов. Модуль Шпехта. Разложение V⊗n как GL(V)×Sn-модуля, соответствие Шура-Вейля.
Конспект:
PDF 134 kb обновлён 12.10.2026.
Разбираемые на семинарах задачи идут ниже. Все студенты так или иначе должны научиться решать все не помеченные звёздочками задачи семинаров.
- Тема 1. Повторение: представления одного оператора.
- Тема 2. Знакомство с представлениями (обновлено 14.09.2026).
- Тема 3. Примеры неприводимых представлений (обновлено 1.10.2026).
- Тема 4. Линейные представления маленьких конечных групп.
- Тема 5. Индуцированные представления.
делятся на «обязательные» и «дополнительные», решение которых почётно и улучшает итоговую оценку, но не обязательно для получения максимальной итоговой оценки. Обязательными являются все не помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи — дополнительные. Задачи можно сдавать в течение всего семестра вплоть до официального начала предновогодней и летней экзаменационных сессий. Решения задач необходимо записывать. Сдавать задачи можно только преподавателю, который ведёт семинары по алгебре в Вашей группе, и его специально авторизованным для приёма задач помощникам, контакты которых он Вам укажет. Порядок сдачи задач также устанавливается преподавателем, ведущим семинары в Вашей группе. Этот порядок должен обеспечить каждому студенту возможность сдать примерно 3-5 задач в неделю. Важное предупреждение: если количество желающих сдавать задачи будет слишком большим, то сдать больше 3-5 задач в неделю может оказаться невозможно в виду физического отсутствия времени у принимающих задачи. Это нормально, и претензии по этому поводу не рассматриваются. Поэтому я рекомендую сдавать 3-5 задач каждую неделю.
проводятся по субботам одновременно у всего курса в специально выделенное
вне обычной учебной сетки время. Всего будет 2 контрольные работы:
в конце октября и в начале декабря.
- Контрольная №1 «Представления конечных групп» будет в субботу 7 ноября с 1030 до 1200 у студентов с фамилиями от А… до К… включительно в ауд. 110, с фамилиями от Л… до Я… включительно в ауд. 108. Задачи для подготовки.
На итоговую отметку влияют: оценка S за работу на семинарах, которую по 100-бальной шкале поставит Вам ведущий у Вас семинары преподаватель согласно правилам, которые он Вам сообщит на одном из первых занятий, а также доли L, K, E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L), контрольных работ (K) и итогового письменного экзамена (E), вычисленные в процентах от общего числа обязательных задач, заданных в течение семестра в каждом из этих видов, по формуле:
100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(300,S+L+K+E)/30
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно набрать по 75 баллов в каждом из четырёх видов программы или каким-то другим способом набрать в сумме 300 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
