Помимо моих собственных записок, которые по мере готовности будут появляться ниже, я рекомендую следующие учебники:
- В.И.Данилов. Алгебраические многообразия и схемы.
ВИНИТИ Совр. Проб. Математ. Фундам. Напр. т.23
«Алгебраическая геометрия – 1»
(1988) (есть в колхозе)
- А.Л.Городенцев. Геометрическое введение в алгебраическую геометрию.
Версия от 13.04.2013 (PDF 1.5Mb).
- А.Л.Городенцев. Геометрия (PDF 7,1Mb, версия от 11.09.2017).
- Ю.И.Манин. Введение в теорию схем и квантовые группы. М., «МЦНМО», 2012.
- Дж.Харрис. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. М., «МЦНМО», 2005
(или английское издание, есть в колхозе)
- И.Р.Шафаревич. Основы алгебраической геометрии. М., «Наука», 1988
(или любое другое издание, есть в колхозе)
Все имеющиеся на сегодняшний день конспекты лекций одним файлом:
PDF 862kb обновлён 30.09.2025. Старанием Софьи Никитиной доступны
видеозаписи лекций на RuTube.
- Тема 1.
Проективные пространства, однородные и аффинные координаты, подпространства и проекции. Проективные преобразования, пример: гомографии и двойное отношение. Аффинные и проективные алгебраические многообразия, проективное замыкание аффинной гиперповерхности, касательные и поляры к проективной гиперповерхности. Пространство проективных гиперповерхностей, пример: конфигурации точек на P1 и кривая Веронезе.
Конспект:
PDF 340kb (обновлён 16.09.2025).
Видеозаписи:
лекция 5.09.2025,
лекция 13.09.2025.
- Тема 2.
Проективные квадрики: поляризация, корреляция, гладкие и особые точки, касательные и поляры, планарность, полярное преобразование, примеры: коники и квадратичные поверхности. Пучки квадрик, пример: геометрическая классификация пучков коник. Касательные прямые к гиперповерхности особых квадрик, приложение: свойства регулярных и простых пучков.
Конспект:
PDF 281kb (обновлён 16.09.2025).
Видеозаписи:
лекция 19.09.2025.
- Тема 3.
Напоминания из полилинейной алгебры: поляризация (грассмановых) многочленов, линейные носители тензоров и (грассмановых) многочленов, многочлены с минимальным ненулевым носителем. Грассманианы: плюккерово вложение, однородные координаты, аффинные окрестности точки и локальные аффинные координаты, касательное пространство, клеточное разбиение. Рабочий пример: квадрика Плюккера в P5 и прямые в P3. Многообразия Веронезе и Сегре, их вложения в проективные пространства и задание квадратичными уравнениями.
Конспект:
PDF 187kb (обновлён 30.09.2025).
- Тема 4.
Порция коммутативной алгебры: свойства целых элементов, нормальные кольца, алгебраические и трансцендентные элементы, базисы и степень трансцендентности конечно порождённой алгебры над полем, теоремы Гильберта о базисе и о нулях полиномиального идеала.
Конспект:
PDF 125kb (обновлён 30.09.2025).
- Тема 5.
Аффинный алгебро-геометрический словарик: идеалы и координатные алгебры аффинных многообразий, регулярные морфизмы и их гомоморфизмы подъёма, контравариантная эквивалентность категорий аффинных алгебраических многообразий и конечно порождённых приведённых коммутативных алгебр над алгебраически замкнутым полем. Топология Зарисского и неприводимые компоненты. Рациональные функции. Геометрические свойства гомоморфизмов алгебр.
Конспект:
PDF 154kb (обновлён 30.09.2025).
Задания делятся на «обязательные» и помеченные звёздочкой «дополнительные», решение которых положительно сказывается на итоговой оценке, но не обязательно для получения максимального балла. Задачи можно решать в любом порядке в течение всего семестра, вплоть до начала зимней сессии. Решения задач необходимо записывать. Сдавать решённые задачи можно только специально авторизованным для этого преподавателям. Важное предупреждение: если количество желающих сдавать задачи будет слишком большим, то сдать больше 3-5 задач в неделю может оказаться невозможно в виду физического отсутствия времени у принимающих задачи. Это нормально, и претензии по этому поводу не рассматриваются. Поэтому я рекомендую сдавать 3-5 задач каждую неделю.
Выданные на текущий момент листки с задачами:
На итоговую отметку за этот курс влияют доли L и E решённых Вами в течение семестра задач из листков (L) и на итоговом письменном экзамене (E), который состоится в зимнюю сессию после второго модуля. Обе доли вычисляются в процентах от общего числа заданных в каждом из видов обязательных задач по формуле:
100(суммарное число решённых задач, включая необязательные)/(суммарное число обязательных задач). Обратите внимание, что это число может быть больше 100. Итоговая оценка вычисляется по формуле:
min(150,L+E)/15
Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно набрать по 75 баллов в каждом из двух видов программы, или каким-то другим способом набрать в сумме 150 баллов. При наборе меньшей суммы оценка уменьшается линейно и округляется до целого числа по стандартным правилам округления (до ближайшего целого, полуцелые округляются вверх).
